Vamos usar o arco dobro do Seno :
[tex]\text{Sen(2.a)}=2.\text{Sen(a)}.\text{Cos(a)}[/tex]
E vamos usar o arco soma e o arco subtração do cosseno :
[tex]\text{Cos(a+b)}=\text{Cos(a).Cos(b)}-\text{Sen(a).Sen(b) }[/tex]
[tex]\text{Cos(a - b)}=\text{Cos(a).Cos(b)}+\text{Sen(a).Sen(b) }[/tex]
Temos a expressão :
[tex]\text{Cos}^2(\text{x - y)} = \text{Sen(2x).Sen(2y) }[/tex]
Vamos abrir o arco subtração do cosseno e abrir os arcos dobros do Seno :
[tex][\text{Cos(x).Cos(y)+Sen(x).Sen(y)}]^2 = 2.\text{Sen(x).Cos(x).2.Sen(y).Cos(y)}[/tex]
Vamos fazer as seguintes mudanças de variáveis :
[tex]\text{Cos(x).Cos(y) = a }[/tex]
[tex]\text{Sen(x).Sen(y) = b }[/tex]
Substituindo :
[tex](\text{a+b})^2 = \text{4.a.b}[/tex]
[tex]\text a^2+\text b^2 + 2.\text{a.b} = 4.\text{a.b}[/tex]
[tex]\text a^2 - 2.\text{a.b}+\text b^2 = 0[/tex]
[tex](\text{a - b})^2 = 0[/tex]
Desfazendo a troca de variável :
[tex][\text{Cos(x).Cos(y) - Sen(x).Sen(y) } ]^2=0[/tex]
Isso é exatamente o arco soma do cosseno, ou seja :
[tex]\text{Cos}^2(\text{x+y}) = 0[/tex]
[tex]\text{Cos(x+y)} = 0[/tex]
sabemos que Cos(90º) = 0 , logo :
[tex]\displaystyle \text{Cos(x+y)} = \text{Cos}(\frac{\pi }{2})[/tex]
Portanto :
[tex]\huge\boxed{\displaystyle \text{x+y} = \frac{\pi}{2}}\checkmark[/tex]
Letra a
