Olá,
Temos a função:
[tex] \tt \: g(x) = \dfrac{x}{x + 1} [/tex]
Queremos sua derivada.
Vamos encontrar essa derivada de duas formas distintas.
01) Usando a Regra do Quociente:
[tex] \boxed{ \tt \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{ {g}^{2}} } \\ [/tex]
Assim, temos:
[tex] \tt \: g'(x) = \dfrac{1(x + 1) - x(1)}{(x + 1 {)}^{2} } \\ \tt \: g'(x) = \dfrac{x + 1 - x}{(x + 1 {)}^{2} } \\ \tt \: g'(x) = \dfrac{ \cancel{x} + 1 - \cancel{x}}{(x + 1 {)}^{2} } \\ \tt \: g'(x) = \frac{1}{(x + 1 {)}^{2} } \\ [/tex]
02) Derivação logarítmica:
Este tipo de transformação é feita quando as funções envolvidas na derivação são difíceis de manipular na forma de potências, produtos e quociente.
Aplique o logaritmo (de preferência o logaritmo natural) na função que deseja derivar:
[tex] \tt \: ln \: g(x) = ln \left( \frac{x}{x + 1} \right) \\ \tt \: ln \: g(x) = ln \: x + ln \: (x + 1) \\ [/tex]
Derivando a expressão acima:
[tex] \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1} \\ \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{x + 1 - x}{x(x + 1)} \\ \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{ \cancel{x} + 1 - \cancel{x}}{x(x + 1)} \\ \tt \: \dfrac{g(x)'}{g(x)} = \dfrac{ 1 }{x(x + 1)} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{x(x + 1)} \cdot \: g(x) \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{x(x + 1)} \cdot \: \dfrac{x}{x + 1} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{ \cancel{x}(x + 1)} \cdot \: \dfrac{ \cancel{x}}{x + 1} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{(x + 1)(x + 1)} \\ \tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{(x + 1 {)}^{2} } \\ [/tex]
De ambas as formas, temos a derivada:
[tex] \boxed{\tt \: {g(x)'} = \dfrac{1 }{(x + 1{)}^{2} }} \\ [/tex]
