Resposta: o natural mais próximo de log₇ (a₂₀₂₀) é 11 (onze).
O enunciado nos apresenta as operações binárias ♣️ e ♡, definindo-as como
[tex]\large\text{$\sf a\ \clubsuit\ b=a^{log_{\,7}\:\!(b)}\quad\, e\quad\ a\ \heartsuit\ b=a^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(b)}}$}[/tex]
, para todo número real a e b para os quais essas expressões estão definidas. Vimos também que a sequência [tex]\boldsymbol{\sf (a_n)}[/tex] é definida recursivamente por
[tex]\large\text{$\sf a_3=3\ \heartsuit\ 2\quad\, e\,\quad a_n=(n\ \heartsuit\ (n-1))\ \clubsuit\ a_{n-1}$}[/tex]
, para todo natural n ≥ 4. Isto posto, vamos agora calcular o valor de a₃ :
[tex]\large\text{$\sf a_3=3\ \heartsuit\ 2$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_3=3^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(2)}}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_3=3^{\frac{log_{\,7}\:\!(7)}{log_{\,7}\:\!(2)}}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_3=3^{log_{\,2}\:\!(7)}$}[/tex]
Seguidamente, temos o valor de a₄ :
[tex]\large\text{$\sf a_4=(4\ \heartsuit\ (4-1))\ \clubsuit\ a_{4-1}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=(4\ \heartsuit\ 3)\ \clubsuit\ a_3$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=4^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(3)}}\ \clubsuit\ 3^{log_{\,2}\:\!(7)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=\!\:\!\:\!\left(4^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(3)}}\right)^{\!\!\:\!log_{\,7}\:\!\left(3^{log_{\,2}\:\!(7)}\right)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=\!\:\!\:\!\left(4^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(3)}}\right)^{\!\!\:\!log_{\,2}\:\!(7)\, \cdot\,log_{\,7}\:\!(3)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=4^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(3)}\,\cdot\,log_{\,2}\:\!(7)\,\cdot\,log_{\:\!\:\!7}\:\!(3)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=4^{log_{\,2}\:\!(7)\,\cdot\,\frac{log_{\:\!\:\!7}\:\!(3)}{log_{\:\!\:\!7}\:\!(3)}}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=4^{log_{\,2}\:\!(7)\,\cdot\,1}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_4=4^{log_{\,2}\:\!(7)}$}[/tex]
Com base nos resultados obtidos acima, podemos conjecturar que ∀n ∈ ℕ, com n ≥ 3,
[tex]\large\text{$\sf a_n=n^{log_{\,2}\:\!(7)}\qquad \boldsymbol{\sf (\:1\:)}$}[/tex]
Para provar que ( 1 ) vale para qualquer natural n ≥ 3, recorreremos a seguir ao famigerado Princípio da Indução Finita, comumente designado apenas por PIF. Assim como em toda demonstração via PIF, verificaremos primeiro se a referida fórmula é verdadeira para o elemento mínimo n = 3 (base de indução), depois suporemos sua validade para qualquer natural k ≥ 3 (hipótese de indução) e, por último, tentaremos provar que ela também vale para o sucessor k + 1 de k.
➯ Base de indução
Como vimos, ela vale para n = 3, pois
[tex]\large\text{$\sf a_3=3^{log_{\,2}\:\!(7)}\quad\:\, Ok!$}[/tex]
➯ Hipótese de indução
Admitamos que ( 1 ) seja verdadeira para todo k ≥ 3, ou melhor, ∀k ∈ ℕ, com k ≥ 3, temos
[tex]\large\text{$\sf a_k=k^{log_{\,2}\:\!(7)}\qquad\boldsymbol{\sf (\:2\:)}$}[/tex]
Partindo de [tex]\boldsymbol{\sf a_{k+1}}[/tex] , usando ( 2 ) e a recorrência dada no início desta resolução, encontramos:
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1\ \heartsuit\ ((k+1)-1))\ \clubsuit\ a_{(k+1)-1}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1\ \heartsuit\ (k+1-1))\ \clubsuit\ a_{k+1-1}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1\ \heartsuit\ k)\ \clubsuit\ a_k$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=\!\:\!\:\!\left((k+1)^{\frac{1}{log_{\:\!\:\!7}\:\!(k)}}\right)\:\!\:\! \clubsuit\ \,k^{log_{\,2}\:\!(7)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=\!\:\!\:\!\left((k+1)^{\frac{1}{log_{\:\!\:\!7}\:\!(k)}}\right)^{\!\!\:\!log_{\:\!\:\!7}\left(k^{log_{\,2}\:\!(7)}\right)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=\!\:\!\:\!\left((k+1)^{\frac{1}{log_{\:\!\:\!7}\:\!(k)}}\right)^{\!\!log_{\,2}\:\!(7)\, \cdot\,log_{\:\!\:\!\:\!7}\:\!(k)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1)^{\frac{1}{log_{\,7}\:\!(k)}\,\cdot\,log_{\,2}\:\!(7)\,\cdot\, log_{\:\!\:\!7}\:\!(k)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1)^{log_{\:\!\:\!2}\:\!(7)\,\cdot\, \frac{log_{\:\!\:\!7}\:\!(k)}{log_{\:\!\:\!7}\:\!(k)}}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1)^{log_{\:\!\:\!2}\:\!(7)\,\cdot\,1}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf a_{k+1}=(k+1)^{log_{\:\!\:\!2}\:\!(7)}\quad\:\,Ok!$}[/tex]
Ou seja, a fórmula ( 1 ) é válida para k e também para k + 1. Consequentemente, provamos que ∀n ∈ ℕ, com n ≥ 3,
[tex]\boldsymbol{\large\text{$\sf a_n=n^{log_{\,2}\:\!(7)}$}}[/tex]
Sendo assim, log₇ (a₂₀₂₀) será:
[tex]\large\text{$\sf log_{\,7}\:\!(a_{2020})=log_{\,7}\!\left(2020^{log_{\,2}\:\!(7)}\right)$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf log_{\,7}\:\!\:\!(a_{2020})\!\:\!=log_{\,2}\:\!(7) \cdot log_{\,7}\:\!(2020)$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf log_{\,7}\:\!\:\!(a_{2020})\!\:\!=log_{\,2}\:\!(7)\cdot \dfrac{log_{\,2}\:\!(2020)}{log_{\,2}\:\!(7)}$}[/tex]
[tex]\large\text{$\sf log_{\,7}\:\!(a_{2020})\!\:\!=log_{\,2}\:\!(2020)$}[/tex]
Portanto, podemos escrever:
[tex]\large\text{$\sf \underbrace{\sf log_{\,2}\:\!(1024)}_{10}<log_{\,2}\:\!(2020)<\underbrace{\sf log_{\,2}\:\!(2048)}_{11}$}[/tex]
Como vemos, a diferença não negativa entre 2048 e 2020 é 28 e a diferença não negativa entre 2020 e 1024 é 996. Por este motivo, o log₇ (a₂₀₂₀) estará mais próximo do natural log₂ (2048), cujo valor é 11 (onze).
