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Sagot :
Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre soluções de equações diferenciais ordinárias.
Seja a EDO:
[tex](y^2-x)\,dx+2y\,dy=0[/tex]
Divida ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex] e reorganize os termos:
[tex]2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+y^2-x=0[/tex]
Some [tex]x[/tex] em ambos os lados da igualdade
[tex]2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+y^2=x[/tex]
Faça uma substituição [tex]u=y^2[/tex]. Diferencie ambos os lados da equação para encontrar o diferencial [tex]\dfrac{du}{dx}[/tex]
[tex]\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(y^2)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2\cdot y^{2-1}\cdot\dfrac{dy}{dx}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2y\cdot\dfrac{dy}{x}[/tex]
Assim, teremos:
[tex]\dfrac{du}{dx}+u=x[/tex]
Esta é uma equação diferencial de Bernoulli, de forma [tex]y'+P(x)y=Q(x)y^n[/tex], em que [tex]P(x)=1,~Q(x)=x[/tex] e [tex]n=1[/tex]. Utilizamos o método do fator integrante para resolver esta equação:
[tex]\bold{F.~I}=e^{\int P(x)\,dx}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{\int 1\,dx}[/tex]
Calcule a integral, utilizando a regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/tex], sabendo que [tex]1=x^0[/tex].
[tex]\bold{F.~I}=e^{\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{x+C_1}[/tex]
Aplicando a propriedade de potências: [tex]a^b\cdot a^c \Leftrightarrow a^{b+c}[/tex] e considerando [tex]e^{C_1}=C_2[/tex], temos:
[tex]\bold{F.~I}=C_2\cdot e^x[/tex].
A solução de uma equação diferencial desta forma é calculada pela fórmula: [tex]y=\dfrac{\displaystyle{\int Q(x)\cdot \bold{F.~I}\,dx}}{\bold{F.~I}}[/tex]. Assim, teremos:
[tex]u=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot C_2\cdot e^x\,dx}}{C_2\cdot e^{x}}[/tex]
Aplique a regra da constante [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}[/tex] e simplifique a fração por um fator [tex]C_2[/tex]
[tex]u=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot e^x\,dx}}{e^x}[/tex]
Calcule a integral, utilizando a técnica de integração por partes: faça uma substituição [tex]t=x[/tex] e [tex]ds=e^x\,dx[/tex]. Diferencie a expressão em [tex]t[/tex] e integre a expressão em [tex]ds[/tex]
[tex](t)'=(x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=1\\\\\\ dt=dx\\\\\\ \displaystyle{\int ds=\int e^x\,dx}[/tex]
Calcule a integral utilizando o resultado imediato: [tex]\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C}[/tex]
[tex]s=e^x+C_3[/tex]
Substitua estes termos na fórmula: [tex]\displaystyle{\int t\,ds=t\cdot s-\int s\,dt}[/tex]
[tex]u=\dfrac{\displaystyle{x\cdot (e^x+C_3)-\int e^x + C_3\,dx}}{e^x}[/tex]
Calcule a integral utilizando a regra da soma: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}[/tex] e o resultado imediato apresentado anteriormente
[tex]u=\dfrac{xe^x+C_3x-(e^x+C_3x+C_4)}{e^x}\\\\\\ u=\dfrac{xe^x+C_3x-e^x-C_3x-C_4}{e^x}[/tex]
Cancele os termos opostos e multiplique a fração por um fator [tex]\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}[/tex]
[tex]u=\dfrac{x\cdot e^x-e^x-C_4}{e^x}\cdot\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}\\\\\\ u=x-1-C_4e^{-x}[/tex]
Desfaça a substituição [tex]u=y^2[/tex] e considere [tex]-C_4=C[/tex]
[tex]y^2=x-1+Ce^{-x}[/tex]
Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade
[tex]y=\pm\sqrt{x-1+Ce^{-x}},~C\in\mathbb{R}[/tex]
Estas são as soluções desta equação diferencial ordinária.
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