Obtenha respostas rápidas e precisas para suas perguntas no Sistersinspirit.ca, a melhor plataforma de Q&A. Conecte-se com profissionais em nossa plataforma para receber respostas precisas para suas perguntas de maneira rápida e eficiente. Explore nossa plataforma de perguntas e respostas para encontrar respostas detalhadas de uma ampla gama de especialistas em diversas áreas.
Sagot :
Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre soluções de equações diferenciais ordinárias.
Seja a EDO:
[tex](y^2-x)\,dx+2y\,dy=0[/tex]
Divida ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex] e reorganize os termos:
[tex]2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+y^2-x=0[/tex]
Some [tex]x[/tex] em ambos os lados da igualdade
[tex]2y\cdot\dfrac{dy}{dx}+y^2=x[/tex]
Faça uma substituição [tex]u=y^2[/tex]. Diferencie ambos os lados da equação para encontrar o diferencial [tex]\dfrac{du}{dx}[/tex]
[tex]\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(y^2)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2\cdot y^{2-1}\cdot\dfrac{dy}{dx}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2y\cdot\dfrac{dy}{x}[/tex]
Assim, teremos:
[tex]\dfrac{du}{dx}+u=x[/tex]
Esta é uma equação diferencial de Bernoulli, de forma [tex]y'+P(x)y=Q(x)y^n[/tex], em que [tex]P(x)=1,~Q(x)=x[/tex] e [tex]n=1[/tex]. Utilizamos o método do fator integrante para resolver esta equação:
[tex]\bold{F.~I}=e^{\int P(x)\,dx}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{\int 1\,dx}[/tex]
Calcule a integral, utilizando a regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/tex], sabendo que [tex]1=x^0[/tex].
[tex]\bold{F.~I}=e^{\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1}\\\\\\ \bold{F.~I}=e^{x+C_1}[/tex]
Aplicando a propriedade de potências: [tex]a^b\cdot a^c \Leftrightarrow a^{b+c}[/tex] e considerando [tex]e^{C_1}=C_2[/tex], temos:
[tex]\bold{F.~I}=C_2\cdot e^x[/tex].
A solução de uma equação diferencial desta forma é calculada pela fórmula: [tex]y=\dfrac{\displaystyle{\int Q(x)\cdot \bold{F.~I}\,dx}}{\bold{F.~I}}[/tex]. Assim, teremos:
[tex]u=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot C_2\cdot e^x\,dx}}{C_2\cdot e^{x}}[/tex]
Aplique a regra da constante [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}[/tex] e simplifique a fração por um fator [tex]C_2[/tex]
[tex]u=\dfrac{\displaystyle{\int x\cdot e^x\,dx}}{e^x}[/tex]
Calcule a integral, utilizando a técnica de integração por partes: faça uma substituição [tex]t=x[/tex] e [tex]ds=e^x\,dx[/tex]. Diferencie a expressão em [tex]t[/tex] e integre a expressão em [tex]ds[/tex]
[tex](t)'=(x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=1\\\\\\ dt=dx\\\\\\ \displaystyle{\int ds=\int e^x\,dx}[/tex]
Calcule a integral utilizando o resultado imediato: [tex]\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C}[/tex]
[tex]s=e^x+C_3[/tex]
Substitua estes termos na fórmula: [tex]\displaystyle{\int t\,ds=t\cdot s-\int s\,dt}[/tex]
[tex]u=\dfrac{\displaystyle{x\cdot (e^x+C_3)-\int e^x + C_3\,dx}}{e^x}[/tex]
Calcule a integral utilizando a regra da soma: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}[/tex] e o resultado imediato apresentado anteriormente
[tex]u=\dfrac{xe^x+C_3x-(e^x+C_3x+C_4)}{e^x}\\\\\\ u=\dfrac{xe^x+C_3x-e^x-C_3x-C_4}{e^x}[/tex]
Cancele os termos opostos e multiplique a fração por um fator [tex]\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}[/tex]
[tex]u=\dfrac{x\cdot e^x-e^x-C_4}{e^x}\cdot\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}\\\\\\ u=x-1-C_4e^{-x}[/tex]
Desfaça a substituição [tex]u=y^2[/tex] e considere [tex]-C_4=C[/tex]
[tex]y^2=x-1+Ce^{-x}[/tex]
Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade
[tex]y=\pm\sqrt{x-1+Ce^{-x}},~C\in\mathbb{R}[/tex]
Estas são as soluções desta equação diferencial ordinária.
Esperamos que nossas respostas tenham sido úteis. Volte a qualquer momento para obter mais informações e respostas a outras perguntas que tenha. Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Obrigado por visitar Sistersinspirit.ca. Volte em breve para mais informações úteis e respostas dos nossos especialistas.