Sagot :
Resposta:
Reta de equação y = 2x - 8
Portanto nenhuma das indicadas , logo e)
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
A equação da reta que passa pelo ponto A ( 5 ; 2 ) e que corta a reta
y = x - 1, num ponto B (fora dos eixos) tal que dAB = 2√5 é :
Resolução:
Dados:
A ( 5 ; 2 )
dAB = 2 √5
B ( x; y ) e ∉ aos eixos xx ou yy
A e B ∈ a uma reta que cruza a reta y = x - 1
B é o ponto de interseção das duas retas
Pedido:
Calcular a reta nestas condições
Para calcular essa reta, necessitamos de conhecer as coordenadas do ponto B.
Vai-se usar a noção de distância entre dois pontos.
[tex]dAB= \sqrt{(x_{2}-x_{1} ) ^{2}+(y_{2} -y_{1 } )^2[/tex]
Onde
x1 - coordenada em x de ponto A
x2 - coordenada em x de ponto B
y1 - coordenada em y de ponto A
y2 - coordenada em y de ponto B
[tex]dAB= \sqrt{(x_{2}-5) ^{2}+(y_{2} -2 )^2[/tex]
Por simplificação de escrita fica :
x2 = x
y2 = y
Para encontrar as coordenadas do ponto B, é necessário construir um sistema de duas equações a duas incógnitas ; x e y.
{ [tex]\sqrt{(x-5) ^{2}+(y -2 )^2 } =2*\sqrt{5}[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
Como a primeira equação é uma equação irracional ( estão incógnitas debaixo de raiz quadrada) o procedimento é elevar ambos os membros ao
quadrado.
{ [tex][\sqrt{(x-5) ^{2}+(y -2 )^2 } } ]^2=(2*\sqrt{5} )^2[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
Também se substitui na primeira equação o "y" pelo seu valor, retirado da segunda equação.
⇔
{ [tex]{(x-5) ^{2}+(x-1 -2 )^2 } =2^2*(\sqrt{5} )^2[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
⇔
{ [tex]{(x-5) ^{2}+(x-3 )^2 } =4*5[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
Desenvolvendo os produtos notáveis, " quadrado de uma diferença "
⇔
{ [tex]{x^2-10x+25+x^2-6x+9 -20 =0[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
⇔
{ [tex]2x^2-16x+14 =0[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
Na primeira equação, dividir por 2 todos os termos , para simplificar
⇔
{ [tex]x^2-8x+7 =0[/tex]
{ [tex]y = x - 1[/tex]
Encontrar as raízes da equação do segundo grau pelo método em que se usa as noções de Soma e Produto das raízes.
x² - Sx + P = 0 S = soma das raízes P = Produto das raízes
S = - b/a P = c/a
S = 8 P = 7
O que é que multiplicado dá 7 e somado dá 8 ? É 7 e 1.
Chegamos aos valores de x = 7 ou x = 1
Nesta altura é necessário fazer uma verificação das soluções encontradas,
face ao enunciado do problema.
Muitas vezes, quando resolvemos equações irracionais, somos forçados a abandonar uma das raízes encontradas.
Se x = 7 y = 7 - 1 = 6 temos o ponto ( 7 ; 6 )
Se x = 1 y = 1 - 1 = 0 temos o ponto ( 1 ; 0 )
Neste caso havia uma condição sobre o ponto B que era estar " fora dos eixos".
O ponto de coordenadas ( 1 ; 0 ) tem que ser rejeitado porque pertence ao eixo dos xx.
Deste modo encontramos o ponto B ( 7 ; 6 )
Falta encontrar a reta que contém os pontos A ( 5 ; 2 ) e B ( 7 ; 6 )
É uma reta do tipo :
y = mx + n com "m" e "n" ∈ R e m ≠ 0
m = coeficiente angular
n = coeficiente linear
Representa uma função afim.
Em primeiro lugar vamos calcular o "m"
[tex]m = \frac{y_{2} -y_{1} }{x_{2}-x_{1} }[/tex] donde [tex]m= \frac{6-2}{7-6} =\frac{4}{2} =2[/tex]
Parte da equação da reta está encontrada
y = 2x + n
Usando as coordenadas do ponto A, por exemplo.
Podia ser o ponto B , já que ambos pertencem a esta reta.
2 = 2 * 5 + n
n = 2 - 10
n = - 8
Temos a equação completa:
y = 2x - 8
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Verificações :
Se os pontos A e B pertencem à reta encontrada
A ( 5 ; 2 )
2 = 2 * 5 - 8
2 = 2 verdadeiro e verificado
B ( 7 ; 6 )
6 = 2 * 7 - 8
6 = 6 verdadeiro e verificado
Verificar a distância entre A e B
[tex]dAB= \sqrt{(7-5 ) ^{2}+(6 -2 } )^2 = \sqrt{4+16} =\sqrt{20} =\sqrt{2^{2}*5 } =\sqrt{2^{2} } *\sqrt{5} =2*\sqrt{5}[/tex]
verificada e correta
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Várias observações:
Obs 1 → a equação do 2º grau podia ter sido resolvida pela Fórmula de Bhascara
Obs 2 → É frequente as equações de funções afim serem apresentadas, também, na forma y = ax + b, onde "a" é o coeficiente angular e "b" o coeficiente linear.
Obs 3 → As equações a) y = x - 3 e b) y + 2 = x - 5 propostas no gabarito seriam descartadas logo de início já que tinham coeficientes angulares iguais ( valor 1) ao da equação y = x - 1.
Logo eram paralelas.
Obs 4 → Quanto ao ponto B ( 7 ; 6 ) não pertence as alíneas c) e d) do gabarito
c) 2 * 6 = 7 - 1 ⇔ 12 = 6 Falso
d) 7 + 6 = 7 ⇔ 13 = 7 Falso
Obs 5 → Sempre que possível fazer verificações evitando erros
Bom estudo.
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Sinais: ( * ) multiplicação ( / ) divisão ( ∉ ) não pertence ( ∈ ) pertence a
( dAB ) distância do ponto A ao ponto B ( ⇔ ) equivalente a
( R ) números reais ( ≠ ) diferente de
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