Seja [tex]y = 3^x[/tex]. Temos então:
[tex]\displaystyle{3^x -3^{x+2}-3^{x-1}=15}[/tex]
[tex]\displaystyle{3^x -9\cdot3^{x}-\frac{3^{x}}{3}=15}[/tex]
[tex]\displaystyle{y-9y-\frac{y}{3}=15}[/tex]
[tex]\displaystyle{3y-27y-y=45}[/tex]
[tex]\displaystyle{-25y=45}[/tex]
[tex]\displaystyle{y=-\frac{45}{25}=-\frac{9}{5}}[/tex]
[tex]\displaystyle{3^x = -\frac{9}{5}}[/tex]
No conjunto dos número reais não há solução para essa equação pois a função exponencial sempre é positiva.
Já no conjunto dos números complexos nós podemos obter uma solução usando a definição de logaritmo complexo:
Seja [tex]z = r\cdot e^{i \theta}[/tex] um complexo em forma polar. O logaritmo complexo desse número é da forma:
[tex]\displaystyle{\text{Log }z = \ln(r)+i\theta }[/tex]
Vamos converter de base 3 para base e:
[tex]\displaystyle{3^x = e^{x\ln{3}}=-\frac{9}{5}}[/tex]
O número [tex]-\frac{9}{5}[/tex] em forma polar complexa pode ser escrito como:
[tex]\displaystyle{-\frac{9}{5}=\frac{9}{5}e^{i\pi}}[/tex]
Isso porque todo real negativo possui [tex]\theta = \pi[/tex] e o valor de [tex]r[/tex] é justamente módulo do número real.
Com isso temos a equação:
[tex]\displaystyle{e^{x\ln(3)}=\frac{9}{5}e^{i\pi}}[/tex]
Usando a definição do logaritmo complexo obtemos:
[tex]\displaystyle{x\ln(3)=\ln\left(\frac{9}{5}\right)+i\pi}[/tex]
[tex]\displaystyle{x=\frac{\ln(9)-\ln(5)+i\pi}{\ln(3)}}[/tex]
Essa é a solução principal da equação no conjunto dos números complexos. Existem infinitas soluções, mas a principal já basta.
