Olá,
Temos a função:
[tex] \tt \: f(x) = 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{ \sqrt{x}} \\ \tt \: em \: que \: x_{0} = 4[/tex]
Vamos encontrar a reta tangente que é dada por:
[tex] \tt \: y - f( x_{0}) = f'( x_{0})(x - x_{0}) \\ [/tex]
Vamos determinar a derivada de f:
Antes, vamos fazer algumas manipulações em f para facilitar o cálculo:
[tex] \tt \: f(x) = 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{ \sqrt{x} } \\ \tt \: f(x) = 1 - {x}^{ - 1} + 2 {x}^{ - \frac{1}{2} } \\ [/tex]
Agora vamos derivar f:
[tex] \tt \: f'(x) = 0 - ( - 1) {x}^{ - 2} + 2 \left( - \dfrac{1}{2} \right) {x}^{ - \frac{1}{2} - 1} \\ \tt \: f'(x) =1 {x}^{ - 2} + \cancel{2} \left( - \dfrac{1}{ \cancel{2}} \right) {x}^{ - \frac{3}{2} } \\ \tt \: f'(x) ={x}^{ - 2} - {x}^{ - \frac{3}{2} } \\ \tt \: f'(x) = \dfrac{1}{ {x}^{2} } - \dfrac{1}{ {x}^{ \frac{3}{2} } } [/tex]
Substituindo x por 4:
[tex] \tt \: f'( x_{0} ) = \dfrac{1}{ {4}^{2} } - \dfrac{1}{ {4}^{ \frac{3}{2} } } \\ \tt \: f'( x_{0} ) = \dfrac{1}{ 16 } - \dfrac{1}{ {2}^{ 3 } } \\ \tt \: f'( x_{0} ) = \dfrac{1}{ 16 } - \dfrac{1}{ 8} \\ \tt \: f'( x_{0} ) = \dfrac{1}{ 16 } - \dfrac{1}{ 8 } \cdot \dfrac{2}{2} \\ \tt \: f'( x_{0} ) = \dfrac{1}{ 16 } - \dfrac{2}{ 16} \\ \tt \: f'( x_{0} ) = - \dfrac{1}{ 16 } \\ [/tex]
Vamos substituir x por 4 na função f:
[tex] \tt f( x_{0}) = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{ \sqrt{4} } \\ \tt f( x_{0}) = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{ 2 } \\ \tt f( x_{0}) = 1 - \dfrac{1}{4} + 1 \\ \tt f( x_{0}) = 2 - \dfrac{1}{4} \\ \tt f( x_{0}) = \dfrac{8}{4} - \dfrac{1}{4} \\ \tt f( x_{0}) = \dfrac{7}{4} \\ [/tex]
Substituindo os valores na equação da reta:
[tex] \tt \: y - f( x_{0}) = f'( x_{0})(x - x_{0}) \\ [/tex]
[tex] \tt \: y - f( x_{0}) = f'( x_{0})(x - x_{0}) \\ \tt \: y - \dfrac{7}{4} = - \dfrac{1}{16} \left( x - 4 \right) \\ \tt \: 16y - 28 = - ( x - 4) \\ \tt \: 16y + x - 28 - 4 = 0 \\ \tt \: 16y + x - 32 = 0[/tex]
Assim, temos a reta tangente procurada:
[tex] \boxed{ \tt \: x + 16y - 32 = 0 \: ou \: y = 2 - \dfrac{1}{16} x \: } \\ [/tex]
