O trabalho é definido como a integral da força em relação à distância percorrida.
[tex]\displaystyle{W = \int F(x) dx}[/tex]
O trabalho necessário para elevar um objeto contra a gravidade é positivo.
A força necessária para elevar um objeto deve ter módulo igual à sua força peso.
A força peso do nosso sistema varia conforme o balde é elevado e com isso precisamos achar uma expressão para a força aplicada para cada metro de corrente puxado.
Vamos utilizar a seguinte convenção: x representa quantos metros de corrente foi puxado. Sendo assim quando x = 0 m significa que o balde está no fundo do poço. Quando x = 100 m significa que o balde está no ponto mais alto possível.
Precisamos achar a função [tex]F(x)[/tex] para a força aplicada para cada metro de corrente puxada.
Sabemos que a força peso depende do peso do balde, do peso da corrente que ainda não foi puxada e o peso da areia dentro do balde:
[tex]\displaystyle{F(x) = P_{balde}(x) +P_{corrente}(x)+P_{areia}(x)[/tex]
O peso do balde não muda e não depende de x. Ele vale [tex]P_{balde}(x) = 9.8 \cdot 20 \text{ N}[/tex] sendo [tex]g = 9.8 \text{ ms}^{-2}[/tex].
O peso da corrente é o peso da corrente não puxada. A corrente tem densidade linear de [tex]\lambda = 10/100=0.1 \text{ kg.m}^{-1}[/tex]. para cada x metros de corrente puxada temos 100 - x metro pendurados.
Com isso o peso da corrente em função de x é
[tex]\displaystyle{P_{corrente}(x) = g\cdot \lambda \cdot (100-x) = 9.8\cdot 0.1\cdot }(100-x)[/tex]
O peso da areia também varia com base na altura. Vamos supor que o balde foi elevado numa taxa constante de x metros por segundo. Isso implica que a cada x metros a areia vaza uma quantidade m kg de massa.
Temos que:
[tex]\displaystyle{P_{areia}(x)=9.8M(x)}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{dM}{dx}=-\alpha}[/tex] sendo α a taxa de esvaziamento em relação a altura elevada em kg/m. Com isso:
[tex]\displaystyle{dM=-\alpha dx}[/tex]
[tex]\displaystyle{\int _M ^0 dM=\int_0^x-\alpha dx'}[/tex]
[tex]M(x)=-\alpha x + C[/tex]
Para achar o valor de α e de C usamos o fato de que [tex]M(0) = 60\text{ kg}[/tex] e que [tex]M(100) = 0\text{ kg}[/tex] :
[tex]M(0)= C = 60[/tex]
[tex]M(100) = -100\alpha + 60 = 0[/tex]
[tex]\alpha = 0.6[/tex]
Com isso temos que:
[tex]\displaystyle{P_{areia}(x)=9.8M(x)=9.8(-0.6x+60)}[/tex]
Por fim, a expressão para a força aplicada em função da quantidade elevada é:
[tex]\displaystyle{F(x) = P_{balde}(x) +P_{corrente}(x)+P_{areia}(x)[/tex]
[tex]\displaystyle{F(x) = 9.8 \cdot 20 + 9.8\cdot 0.1\cdot }(100-x)+9.8(-0.6x+60)}[/tex]
[tex]\displaystyle{F(x) = 9.8( 20 +10-0.1x-0.6x+60)}[/tex]
[tex]\displaystyle{F(x) = 9.8(-0.7x+90)}[/tex]
Finalmente podemos encontrar o trabalho realizado:
[tex]\displaystyle{W = \int F(x) dx}[/tex]
[tex]\displaystyle{W = \int_0^{100} 9.8(-0.7x+90)dx}[/tex]
[tex]\displaystyle{W = 9.8\left[-0.35x^2+90x\right]_0^{100}}[/tex]
[tex]\displaystyle{W = 9.8\left[-0.35\cdot100^2+90\cdot100\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{W = 9.8\left[-3500+9000\right]}[/tex]
[tex]\displaystyle{W = 9.8\left[5500]}[/tex]
[tex]\displaystyle{\boxed{W = 53900\text{ J}}}[/tex]
O trabalho realizado foi de 53900 Joules.
