Para que seja possível calcular a área do triangulo da figura primeiro precisamos calcular as distancia entres os pontos. Para isso iremos nomeá-los
A-(0,5)
B-(3,1)
C-(8,3)
O calculo da distancia entre dois pontos 1 e 2 quaisquer no plano cartesiano é dado por;
[tex]d_{12} = \sqrt{(x_2-x_1^2)+(y_2-y_1)^2}[/tex]
assim para as distancias AB, BC e CA, temos;
[tex]d_{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\d_{12} = \sqrt{(3-0)^2+(1-5)^2}=5\\\\d_{BC} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\\\d_{BC} = \sqrt{(8-3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{29} \\\\d_{CA} = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\\\d_{CA} = \sqrt{(0-8)^2+(5-3)^2} = \sqrt{68}[/tex]
Calculando a altura h do triangulo que se encontra a uma distancia [tex]x-\sqrt{68}[/tex] a partir do ponto C, e [tex]x[/tex] a partir do ponto A, temos
[tex]h^{2}={\sqrt{29}^2-(\sqrt{68}-x )^2} } {(1)}\\\\h^2 = 5^2-x^2 {(2)}[/tex]
substituindo (2) em (1)
[tex]5^2-x^2=\sqrt{29} ^2-(\sqrt{68}-x )^2\\\\\25-x^2=29-68+2(\sqrt{68})x-x ^2\\\\25=-39+2(\sqrt{68})x\\\\64=2(\sqrt{68})x\\\\x=\frac{64}{2\sqrt{68} } =\frac{32}{\sqrt{68} }[/tex]
Substituindo em (2)
[tex]h=\sqrt{5^2-(\frac{32}{\sqrt{68}})^2 } \\h=\sqrt{25-\frac{1024}{68} } \\h=\sqrt{\frac{676}{68} }\\\\h=\frac{26}{\sqrt{68} }[/tex]
Agora sabendo que a área de um triangulo é dado por:
[tex]A=\frac{b\times{h}}{2}[/tex]
sendo b=[tex]\sqrt{68}[/tex], temos
[tex]A = \frac{\sqrt{68}\times \frac{26}{\sqrt{{68} }} }{2} \\\\ A=\frac{26 }{2}=13[/tex]
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