Olá,
Definições:
Seja [tex] \tt \: k \: \in \N[/tex], definiremos o número [tex] \tt \: a \: \in \N[/tex] como um número par dado por [tex] \tt \: a = 2k \\ [/tex]
Como o conjunto dos números naturais pode ser observado na forma de número pares e ímpares e observa-se que este conjunto numérico tem um comportamento associado a ideia de antecessor e sucessor. Sendo que o sucessor do número natural [tex] \tt \: n[/tex] é [tex] \tt \: n + 1.[/tex]
Então, dado o número par [tex] \tt \: a = 2k[/tex] o seu sucessor será dado por [tex] \tt \: b = 2k + 1[/tex], chamamos o número [tex] \tt \: b[/tex] de número ímpar.
Feito isso, vamos à questão.
Temos:
[tex] \tt \: a = 1 + {b}^{2} [/tex]
Sendo [tex] \tt \: b = 2k + 1[/tex]
Queremos provar que [tex] \tt \: a[/tex] é da forma [tex] \tt \: a = 2k[/tex]
Vamos substituir [tex] \tt \: b = 2k + 1 [/tex] na expressão dada:
[tex] \tt \: a = 1 + {b}^{2} \\ \tt \: a = 1 + (2k + 1 {)}^{2} \\ \tt \: a = 1 + 4 {k}^{2} + 4k + 1 \\ \tt \: a = 4 {k}^{2} + 4k + 2 \\ \tt \: a = 2(2 {k}^{2} + 2k + 1) \\ [/tex]
Faça [tex] \tt \: x = 2 {k}^{2} + 2k + 1[/tex], logo:
[tex] \tt \: a = 2x[/tex]
Portanto, [tex] \tt \: a[/tex] é par.
