Olá,
Vamos calcular as derivadas e aplicar o ponto dado.
1° digito:
[tex] \tt \: f(x) = \dfrac{ {x}^{3} + 1 }{x + 4} \\ [/tex]
Vamos aplicar a derivada do quociente de duas funções, a saber:
[tex] \boxed{ \tt \left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f'g - fg'}{ {g}^{2} } } \\ [/tex]
Temos:
[tex] \tt \: f'(x) = \dfrac{3 {x}^{2}(x + 4) - ( {x}^{3} + 1) \cdot1}{(x + 4 {)}^{2} } \\ \tt \: f'(x) = \dfrac{3 {x}^{3} + 12 {x}^{2} - {x}^{3} - 1}{(x + 4 {)}^{2} } \\ \tt \: f'(x) = \dfrac{2 {x}^{3} + 12 {x}^{2} - 1 }{(x + 4 {)}^{2} } \\[/tex]
Substituindo x por 1:
[tex]\tt \: f'(1) = \dfrac{2( {1)}^{3} + 12 {(1)}^{2} - 1 }{(1 + 4 {)}^{2} } \\\tt \: f'(1) = \dfrac{2 + 12 - 1}{{5}^{2} } \\\tt \: f'(1) = \dfrac{13 }{25} \\[/tex]
2 ° digito:
[tex] \tt \: f(x) = 2x + {e}^{x} \\ [/tex]
Lembre-se da derivada da função exponencial quando a base é o Número de Euler:
[tex] \boxed{ \tt( {e}^{x} )' = {e}^{x} } \\ [/tex]
Assim:
[tex] \tt \: f'(x) = 2(1) + {e}^{x} \\ \tt \: f'(x) = 2 + {e}^{x} \\ [/tex]
Vamos substituir x por 0:
[tex] \tt \: f'(0) = 2 + {e}^{0} \\ \tt \: f'(0) = 2 + 1 \\ \tt \: f'(0) = 3 \\ [/tex]
3° digito:
[tex] \tt \: f(x) = (x + 2 {x}^{2} )(x + 9) \\ [/tex]
Lembre-se da derivada do produto de duas funções:
[tex] \boxed{ \tt (fg)' = f'g + fg'} \\ [/tex]
Assim, temos:
[tex] \tt \: f'(x) = (1 + 4x)(x + 9) + (x + 2 {x}^{2} )(1) \\ \tt \: f'(x) = (1 + 4x)(x + 9) + x + 2 {x}^{2} \\ \tt \: f'(x) = x + 9 + 4 {x}^{2} + 36x + x + 2 {x}^{2} \\ \tt \: f'(x) = 6 {x}^{2} + 38x + 9[/tex]
Substituindo x por 2:
[tex] \tt \: \tt \: f'(2) = 6 {(2)}^{2} + 38(2)+ 9 \\ \tt \: f'(2) =109 \\ [/tex]
4° digito :
[tex] \tt \: f(x) = 4x \\ [/tex]
[tex] \tt \: f'(x) = 4 \\ [/tex]
Assim, os dígitos são respectivamente:
[tex] \boxed{ \tt \: \dfrac{13}{25};3;109;4 } \\ [/tex]
Não parece ser um número interessante, mas creio que as respostas são estas.
