Olá,
Primeiramente, excelente pergunta!
Para resolver isso, vamos tomar um segmento de reta dividido em duas partes: a parte maior será x e a parte menor será y. Desta forma:
x y
------------------------------------|---------------
Agora, suponha que exista estes dois números x e y de tal forma que a razão entre a sua soma e x seja igual a razão entre x e y. Se essa igualmente existe, ela é definida como a razão áurea ou número de ouro ou ainda proporção divina. É representada pela letra grega [tex] \tt \phi.[/tex]
Desta forma:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} = \dfrac{x}{y} [/tex]
Vamos fazer alguns testes:
Sejam:
[tex] \tt \: x = 5 \\ \tt \: y = 3[/tex]
Então:
[tex] \tt \phi \: \approx \dfrac{5 + 3}{5} = \dfrac{8}{5} =1{,}6[/tex]
Bem como:
[tex] \tt \phi \: \approx \dfrac{5 }{3} =1{,}666 \cdots[/tex]
Vamos tomar mais dois números:
[tex] \tt \: x = 55 \\ \tt \: y = 34[/tex]
Temos:
[tex] \tt \phi \: \approx \dfrac{55 + 34}{55} = \dfrac{89}{55} =1{,}6181 \cdots[/tex]
Assim:
[tex] \tt \phi \: \approx \dfrac{55 }{34} =1{,}6176 \cdots[/tex]
Cada vez que você aumenta isso aí, os números estão cada vez mais próximos. Eles convergem para o número de ouro.
Vamos determinar por álgebra o número de ouro partindo do segmento de reta que já esboçamos. Então temos:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} = \dfrac{x}{y} \\ [/tex]
Então, pela igualdade:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} \: \: \: \: (1) \\ [/tex]
Como também:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x}{y} \: \: \: \: (2) \\ [/tex]
Partindo disso, vamos tomar a igualmente (1) para o número de ouro:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x + y}{x} [/tex]
Vamos manipular a soma de frações:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x}{x} + \dfrac{ y}{x} [/tex]
Isto é:
[tex] \tt \phi \: = 1+ \dfrac{ y}{x} \: \: \: \: (3)[/tex]
Agora, partindo de (2), observe que:
[tex] \tt \phi \: = \dfrac{x}{y} \to \: \dfrac{1}{ \phi} = \dfrac{y}{x} \\ [/tex]
Substituindo isso na expressão (3):
[tex] \tt \phi \: = 1+ \dfrac{1}{ \phi} \\ [/tex]
Multiplicando a equação acima pelo número de ouro:
[tex] \tt { \phi}^{2} = \phi + 1 \\ [/tex]
Ou seja:
[tex] \tt { \phi}^{2} - \phi - 1 = 0[/tex]
Vamos resolver a equação do segundo grau acima:
[tex] \tt \phi = \dfrac{ - ( - 1) \pm{ \sqrt{( - {1)}^{2} - 4(1)( - 1)} }}{2(1)} [/tex]
[tex] \tt \phi = \dfrac{ 1 \pm{ \sqrt{1 + 4} }}{2}[/tex]
[tex] \tt \phi = \dfrac{ 1 \pm{ \sqrt{5} }}{2} \\ [/tex]
Observe que já sabemos que [tex] \tt \phi > 0 \\ [/tex], então vamos tomar a parte positiva.
[tex] \tt \phi = \dfrac{ 1 + { \sqrt{5} }}{2}[/tex]
Assim, temos o número que procuramos:
[tex] \boxed{ \tt \phi = \dfrac{ 1 + { \sqrt{5} }}{2} = 1{,}61803398 \cdots} \\ [/tex]
