Resposta:
[tex]$\boxed{\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{ax + 2a}{x}} \rightarrow\,\textsf{Resposta!}}$[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Olá, geuvanaaparecida76.
O macete da questão será a fatoração de polinômios. Vamos lá!
Anota aí e guarda na cabeça esta igualdade abaixo.
[tex]$\boxed{\mathsf{\frac{x - 2}{x} = a}}$[/tex]
Então, vamos à questão!
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{x^2 - 4}{x^2}}$[/tex]
No numerador, percebe-se nitidamente que x² - 4 é um produto notável: o produto da soma pela diferença entre dois termos, o que diz que: (a + b) · (a - b) = a² - b². Sabendo disso, é só fatorar o primeiro termo. Neste caso: a = x e b = 2.
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{x^2 - 4}{x^2}}$[/tex]
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x^2}}$[/tex]
No denominador, temos x² = x · x, então é só fatorar.
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x^2}}$[/tex]
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x \cdot x}}$[/tex]
Assim, podemos dividir a fração do lado direito da equação da seguinte forma.
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x \cdot x}}$[/tex]
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2)}{x} \cdot \frac{(x - 2)}{x}}$[/tex]
Assim, voltando ao início, vimos que [tex]$\mathsf{\frac{x - 2}{x} = a}$[/tex], e vemos ali que este termo se torna presente, então é só substituir por "a" e correr para o abraço.
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2)}{x} \cdot \frac{(x - 2)}{x}}$[/tex]
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2)}{x} \cdot a}$[/tex]
Agora, aplicamos a distributiva no numerador e finalizamos a questão.
[tex]$\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{(x + 2) \cdot a}{x}}$[/tex]
[tex]$\boxed{\mathsf{\frac{x^2 - 4}{x^2} =\frac{ax + 2a}{x}} \rightarrow\,\textsf{Resposta!}}$[/tex]
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