Olá,
Temos o limite:
[tex] \tt \lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{2 \sqrt[5]{ {x}^{2} } }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )} \\ [/tex]
Inicialmente, observe que:
[tex] \tt \: \sqrt[5]{ {x}^{2} } = ( \sqrt[5]{x} {)}^{2} \\ [/tex]
Então, faremos isso no limite:
[tex] \tt \lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{2 (\sqrt[5]{ {x} } {)}^{2} }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )} \\[/tex]
Feita essa mudança, vamos fazer a seguinte substituição:
[tex] \tt \: t = \sqrt[5]{x} \\ [/tex]
Observe que:
[tex] \tt \: x \to \: 0 \: = > t \to \: 0 \\ [/tex]
Assim:
[tex] \tt \lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{2 (\sqrt[5]{ {x} } {)}^{2} }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )} \\ \tt \: = \tt \lim_{t\to \: 0} \: \dfrac{2 t^{2} }{1 - cos( t)} \\[/tex]
Vamos multiplicar a fração no limite por [tex] \tt \: 1 + cos(t) \\ [/tex]
Assim:
[tex]\tt \: = \tt \lim_{t\to \: 0} \: \left(\dfrac{2 t^{2} }{1 - cos( t)} \right) \left( \dfrac{1 + cos(t)}{ 1 + cos(t)} \right) \\ \tt \: = \tt \lim_{t\to \: 0} \: \dfrac{2 t^{2}(1 + cos (t)) }{1 - co {s}^{2} ( t)} \\[/tex]
Lembre-se que:
[tex] \tt \: {sen}^{2} (t) = 1 - {cos}^{2} (t) \\ [/tex]
Substituindo:
[tex]\tt \: = \tt \lim_{t\to \: 0} \: \dfrac{2 t^{2}(1 + cos(t) )}{ {sen}^{2}(t) } \\ \\ \tt \: = 2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \: \left(\dfrac{ t^{2} }{ {sen}^{2}(t) } \right) \left(1 + cos(t) \right) \\ \\ \tt \: = 2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \: \left(\dfrac{ 1}{ \dfrac{ {sen}^{2}(t) }{ {t}^{2} } } \right) \left(1 + cos(t) \right) \\ \\ \tt \: = 2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \: \dfrac{(1 + cos(t))}{ \left( \dfrac{ {sen}^{2} t}{ {t}^{2} } \right)} \\ \\ \tt \: = 2 \: \tt \lim_{t\to \: 0} \: \frac{(1 + cos(t))}{ \left( \dfrac{sen(t)}{t} \cdot \: \dfrac{sen(t)}{t} \right)} \\ \\ [/tex]
Lembre-se do Limite Trigonométrico:
[tex] \tt \lim_{t \to \: 0} \: \dfrac{sen(t)}{t} = 1[/tex]
Assim:
[tex] \tt \: =2 \left( \dfrac{ \lim_{t \to \: 0}(1 + cos(t)) }{ \lim_{t \to \: 0} \: \dfrac{sen(t)}{t} \cdot \: \lim_{t \to \: 0} \: \dfrac{sen(t)}{t}} \right) \\ \\ \tt \: = 2 \left( \frac{1 + cos(0)}{1 \cdot \: 1} \right) \\ \\ \tt \: = 2 \left( \frac{1 + 1}{1 } \right) \\ \\ \tt = 2(2) \\ \\ \tt \: = 4 \\ [/tex]
Assim, temos que:
[tex] \boxed{ \tt \lim _{x \to \: 0} \: \frac{2 \sqrt[5]{ {x}^{2} } }{1 - cos( \sqrt[5]{x} )} = 4} \\ [/tex]
