Temos a curva :
[tex]\text y = \text x^3[/tex]
e temos a reta tange à curva :
[tex]\text y = \text m.\text x + \text n[/tex]
Sabemos que o coeficiente angular da reta tangente à curva é dada por [y] ' (Derivada da curva num determinado ponto) :
Então, vamos derivar a curva para achar o coeficiente angular :
[tex]\text y' \to \text m = [\text x^3]'[/tex]
[tex]\text y' \to \boxed{\text m = 3.\text x^2}[/tex]
Para x = 1 :
[tex]\text y' \to \boxed{\text m = 3}[/tex]
Reta tangente :
[tex]\text y = 3.\text x + \text n[/tex]
Substituindo x=1 na equação da curva para achar o valor de y :
[tex]\text y = \text x^3 \to \text y = .1^3 \to \text y = 1[/tex]
Fazendo x= 1 e y = 1 na equação da reta tangente :
[tex]1 = 3.1 + \text n \to \text n = -2[/tex]
Portanto a equação da
reta tangente é :
[tex]\huge\boxed{\text y = 3.\text x-2}\checkmark[/tex]
O cálculo realizado indica que a equação da reta tangente à curva y = x³, no ponto de abscissa x = 1 :
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text {$ \mathsf{ y = 3x - 2 } $ } }[/tex]
A derivada de uma função [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }[/tex] num ponto [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x = x_0 }[/tex], é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }[/tex], no ponto [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x = x_0 }[/tex],
A taxa de variação instantânea de uma função [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }[/tex] em relação a x é dada pela expressão [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf dy/dx }[/tex].
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf y = x^3 \\\sf x = 1 \end{cases}[/tex]
Solução para determinar [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf y_0 }[/tex]:
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y = x^3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ } $ }[/tex][tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y_0 = x_0^3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y_0 = (1)^3 } $ }[/tex]
[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y_0 = 1 }[/tex]
O coeficiente angular da reta em [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x_0 = 1 }[/tex] é dado por:
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ m = \dfrac{dy}{dx} \left( x^3 \right) = 3x^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ m = 3x^2= 3 \cdot 1^2 = 3 \cdot 1 = 3 } $ }[/tex]
A reta tangente à curva [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf y = x^3 }[/tex],no ponto [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf P\: (x_0, y_0) }[/tex] , tem equação:
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y - y_0 = m \cdot ( x- x_0) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y - 1 = 3 \cdot ( x-1) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y - 1 = 3x -3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text {$ \mathsf{ y = 3x - 3 + 1 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 3x - 2 }[/tex]
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