Se a deixa resto 3 na divisão por 6, por meio do algoritimo da divisão podemos escrever a da seguinte forma
[tex]a=6q+3[/tex] onde q é o quociente na divisão por 6, logo
[tex]72|a^2-9\Rightarrow 72|(6q+3)^2-9\Rightarrow 72|36q^2+36q+9-9\Rightarrow 72|36(q^2+q)[/tex]
Agora perceba que basta mostrarmos que [tex]q^2+q[/tex] é par, pois se for par então essa expressão terá um fator 2 e podemos escrever ela da seguinte forma [tex]q^2+q=2k[/tex], então teriamos [tex]36(q^2+q)\Rightarrow 36\cdot2k\Rightarrow 72k[/tex] e poderiamos concluir o problema
Ora, se q for par então [tex]q^2[/tex] tamém seria par, logo teriamos [tex]\overbrace{q^2}^{\mbox{par}}+\overbrace{q}^{\mbox{par}}=\mbox{par}[/tex]
Se q for impar então [tex]q^2[/tex] tambem seria impar e teriamos [tex]\overbrace{q^2}^{\mbox{impar}}+\overbrace{q}^{\mbox{impar}}=\mbox{par}[/tex]
Ou seja, independente da paridade [tex]q^2+q[/tex] será par, portanto [tex]q^2+q=2k[/tex], por fim
[tex]72|36(\overbrace{q^2+q}^{\mbox{par=2k}})\Rightarrow 72|36\cdot2k\Rightarrow 72|72k[/tex]
