A) A resposta para a racionalização da letra a é: [tex]\sqrt{3} +7\sqrt{5}[/tex].
Para chegarmos até essa resposta, precisaremos fatorar cada um dos números dentro das raízes, encontrando seus divisores. Após feito isso, pegaremos os divisores que tem raíz quadrada exata, faremos a raíz quadrada desse número e passaremos ele para fora da raíz. Por exemplo, o 80 pode ser escrito também como 16*5, e como 16 tem raíz quadrada exata igual a 4, ficará do seguinte modo:
√45 - √12 +√80 + √27
[tex]\sqrt{9*5} - \sqrt{4*3} +\sqrt{16*5} +\sqrt{9*3}[/tex]
[tex]3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} +4\sqrt{5} +3\sqrt{3}[/tex]
Após isso, basta agrupar aqueles que tem raíz com o mesmo valor. Somaremos os números que estão fora da raíz e repetiremos o que está dentro da raíz, por exemplo:
[tex](3\sqrt{5} +4\sqrt{5}) +(3\sqrt{3}- 2\sqrt{3})\\7\sqrt{5} +\sqrt{3}[/tex]
Importante: lembre dos sinais positivos e negativos na frente de cada raíz.
B) [tex]5\sqrt{11} +7\sqrt{7}[/tex]
O segredo para essa questão é fatorar o número dentro da raíz em números que tenham raíz exata, por exemplo o 44, que é igual a 4*11. Como 4 é um valor com raíz quadrada exata, ele passaria para fora da raíz como 2. Veja a resolução:
√44 + √175 + √99 +√28
[tex]\sqrt{11*4} +\sqrt{25*7} +\sqrt{9*11} +\sqrt{4*7} \\2\sqrt{11}+ 5\sqrt{7} +3\sqrt{11} +2\sqrt{7} \\2\sqrt{11} +3\sqrt{11} +2\sqrt{7}+ 5\sqrt{7}\\5\sqrt{11} + 7\sqrt{7}[/tex]
C) [tex]\frac{8\sqrt[3]{5}+27\sqrt[3]{3} }{6}[/tex]
A resolução é:
[tex]\sqrt[3]{15*3} +\sqrt[3]{8*5} -\frac{\sqrt[3]{8*5} }{\sqrt[3]{27} } - \frac{\sqrt[3]{3} }{\sqrt[3]{8} } \\\\5\sqrt[3]{3} +2\sqrt[3]{5} -\frac{2\sqrt[3]{5} }{3} -\frac{\sqrt[3]{3} }{2} \\\\\frac{6\sqrt[3]{5}-2\sqrt[3]{5} }{3} +\frac{10\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3} }{2} \\\\\frac{4\sqrt[3]{5} }{3}+ \frac{9\sqrt[3]{3} }{2} \\\\\frac{8\sqrt[3]{5} +27\sqrt[3]{3}}{6}\\[/tex]
D) [tex]\frac{5\sqrt{3}-3\sqrt{2} }{6}[/tex]
Nessa questão temos que lembrar que não deve haver raíz no denominador da fração, o que significa dizer que precisaremos racionalizar os denominadores com fração. A resolução fica da seguinte maneira:
[tex]\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{3} } -\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}+ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \\\frac{\sqrt{1}*\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{3} } -\frac{\sqrt{1}*\sqrt{2}}{\sqrt{2}*\sqrt{2}}+ \frac{\sqrt{3}*\sqrt{4}}{\sqrt{4}*\sqrt{4}}\\\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{4}*\sqrt{3} }{4} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{4}*\sqrt{3} }{4} -\frac{2\sqrt{2}}{4}\\\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2*\sqrt{3}-2\sqrt{2} }{4}\\\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-6\sqrt{2} }{12}\\\frac{10\sqrt{3} -6\sqrt{2}}{12}\\\\\\[/tex]
[tex]\frac{2(5\sqrt{3}-3\sqrt{2}) }{12} \\\frac{5\sqrt{3}-3\sqrt{2} }{6}[/tex]
