Estudemos a sequência (√n n).
Para analisar o seu comportamento usaremos a desigualdade
n r2
(1+r) ≥1+nr+n(n−1)2,r≥0,
Em particular, em virtude de
r ≥ 0, temos
Como √n n≥1, para cada n ∈ N,existehn ≥0(sen≥2 tal é positivo)
satisfazendo de modo que hn assim, para n ≥ 2, temos
0Como
( 2 )12
lim n − 1 = 0,
n r2 (1+r) ≥ n(n−1) 2 .
√n n = 1 + h n n=(1+hn)n ≥n(n−1)h2n.
2 ( 2 )12
usando a Regra do Sanduíche, obtém-se hn → 0 e então, em vista de √n n=1+hn, concluímos que √n n→1.
