Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.
Devemos calcular a seguinte integral:
[tex]\displaystyle{\int \dfrac{x+6}{x+1}\,dx}[/tex].
Primeiro, reescrevemos a fração da seguinte maneira: [tex]\dfrac{x+6}{x+1}=\dfrac{x+1+5}{x+1}=1+\dfrac{5}{x+1}[/tex]. Assim, teremos:
[tex]\displaystyle{\int 1+\dfrac{5}{x+1}\,dx}[/tex]
Aplique a regra da soma: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}[/tex]
[tex]\displaystyle{\int 1\,dx+\int\dfrac{5}{x+1}\,dx}[/tex]
Aplique a regra da constante: [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}[/tex]
[tex]\displaystyle{\int1\,dx+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}[/tex]
Na primeira integral, aplique a regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/tex], sabendo que [tex]1=x^0,~x\neq0[/tex]
[tex]\displaystyle{\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_1+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}[/tex]
Some os valores no expoente e denominador
[tex]\displaystyle{\dfrac{x^1}{1}+C_1+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{x+C_1+5\cdot\int\dfrac{1}{x+1}\,dx}[/tex]
Faça uma substituição [tex]u=x+1[/tex] e diferencie ambos os lados da igualdade, de modo a substituir o diferencial [tex]dx[/tex]:
[tex](u)'=(x+1)'[/tex]
Aplique as regras da cadeia, soma, potência e constante
[tex]\dfrac{du}{dx}=1[/tex]
Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]du=dx[/tex]
Então, teremos:
[tex]\displaystyle{x+C_1+5\cdot\dfrac{1}{u}\,du}[/tex]
Calcule a integral, sabendo que [tex]\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}[/tex]
[tex]x+C_1+5\cdot(\ln|u|+C_2)[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça a substituição [tex]u=x+1[/tex]
[tex]x+C_1+5\ln|x+1|+5C_2[/tex]
Considere [tex]C_1+5C_2=C[/tex], uma constante arbitrária real
[tex]x+5\ln|x+1|+C,~C\in\mathbb{R}[/tex]
Este é o resultado desta integral.
