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A área lateral, área total e o volume da pirâmide regular abaixo, são, respectivamente:

a)192√6 cm², 96√3 (1+2√2) cm² e 384√7 cm³.
b)96√3 (1+2√2) cm², 384√7 cm³ e 192√6 cm².
c)96√3 (1+2√2)cm², 192√6 cm² e 384√7 c​​​​m³.
d)192√6 cm², 384√7 cm³ e 96√3 (1+2√2) cm².

A Área Lateral Área Total E O Volume Da Pirâmide Regular Abaixo São Respectivamente A1926 Cm 963 122 Cm E 3847 Cm B963 122 Cm 3847 Cm E 1926 Cm C963 122cm 1926 class=

Sagot :

SubGui

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial e plana.

Devemos calcular a área lateral, total e o volume da pirâmide regular da figura, cuja aresta da base mede [tex]8~cm[/tex] e a aresta da pirâmide mede [tex]20~cm[/tex].

Primeiro, calculemos a área lateral desta pirâmide. Observe que esta é uma pirâmide hexagonal regular, logo as faces laterais são triângulos isósceles.

A área lateral será calculada pela soma das áreas dos triângulos isósceles: [tex]A_{lateral}=6\cdot A_{\triangle}[/tex]

Antes, calculamos a altura da face triangular ou apótema da pirâmide, utilizando o Teorema de Pitágoras:

[tex]\left(\dfrac{8}{2}\right)^2+{h_{face}}^2=20^2\\\\\\ 4^2+{h_{face}}^2=20^2\\\\\\ 16+{h_{face}}^2=400\\\\\\ {h_{face}}^2=384\\\\\\ h_{face}=\sqrt{384}~cm\\\\\\ h_{face}=8\sqrt{6}~cm[/tex]

Então, utilizando a fórmula [tex]A_{triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}[/tex], temos:

[tex]A_{lateral}=6\cdot\dfrac{8\cdot8\sqrt{6}}{2}[/tex]

Multiplique os valores

[tex]A_{lateral}=192\sqrt{6}~cm^2[/tex]

A área total será dada pela soma [tex]A_{lateral}+A_{base}[/tex]

A área da base é calculada ao dividirmos o hexágono regular em seis triângulos equiláteros.

O lado destes triângulos é igual ao lado do hexágono e sua altura é igual ao apótema, que mede [tex]\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}[/tex]. Assim, temos:

[tex]A_{base}=6\cdot\dfrac{8\cdot\dfrac{8\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex]

Multiplique os valores

[tex]A_{base}=96\sqrt{3}~cm^2[/tex]

Logo, a área total é igual a [tex]192\sqrt{6}+96\sqrt{3}~cm^2[/tex].

O volume da pirâmide é calculado pela fórmula: [tex]V=\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}[/tex].

Precisamos ainda calcular a altura da pirâmide, utilizando novamente o Teorema de Pitágoras, com o apótema da base e apótema da pirâmide.

[tex]{h_{p}}^2+a^2= A^2\\\\\\ {h_{p}}^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{2}\right)^2=18^2\\\\\\ {h_{p}}^2+48=384\\\\\\ {h_{p}}^2=336\\\\\\ h_p=\sqrt{336}\\\\\\ h_p=4\sqrt{21}[/tex]

Logo, teremos:

[tex]V=\dfrac{96\sqrt{3}\cdot4\sqrt{21}}{3}\\\\\\ V=384\sqrt{7}~cm^3[/tex]

Este eram os resultados que buscávamos e é a resposta contida na letra a).

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