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⠀⠀☞ A opção a) é a única alternativa correta. ✅
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a) O produto..
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⠀⠀ ✅ Verdadeiro. Tomemos como exemplo:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \sqrt[3]{2} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3} $}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 3}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{6} \cdot (\sqrt[3]{2})^3$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{6} \cdot 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{3}$}}[/tex]
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b) A soma...
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⠀⠀ ❌ Falso. Tomemos como exemplo:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \overbrace{\sf \sqrt2}^{a} + \overbrace{\sf (1 - \sqrt{2})}^{b}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \sqrt2 + 1 - \sqrt{2}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \sqrt2 - \sqrt{2} + 1$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = 1$}}[/tex]
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c) O produto..
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⠀⠀ ❌ Falso. Sejam p, q, r e s quatro números inteiros e x um número irracional. Suponhamos que (p / q) * x = (r / s). Isto resultaria em:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x}{1} = \dfrac{r}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{p \cdot x}{q} = \dfrac{r}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{x}{q} = \dfrac{r}{s \cdot p}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf x = \dfrac{q \cdot r}{s \cdot p}$}}[/tex]
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⠀⠀Porém sabemos que o produto de dois números inteiros sempre resultará em um valor inteiro, ou seja, teríamos que x pode ser escrito como uma fração de qr / sp, ou seja, x seria um número racional: o que seria absurdo pois definimos inicialmente x é um número irracional.
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d) A soma...
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⠀⠀ ❌ Falso. Sejam p, q, r e s quatro números inteiros e x um número irracional. Suponhamos que (p / q) + x = (r / s). Isto resultaria em:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{p}{q} + \dfrac{x}{1} = \dfrac{r}{s}$}}[/tex]
⠀
[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{p}{q} + \dfrac{q \cdot x}{q} = \dfrac{r}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{p + q \cdot x}{q} = \dfrac{r}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf p + q \cdot x = \dfrac{q \cdot r}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf q \cdot x = \dfrac{q \cdot r}{s} - p$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf q \cdot x = \dfrac{q \cdot r}{s} - \dfrac{s \cdot p}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf q \cdot x = \dfrac{q \cdot r - s \cdot p}{s}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf x = \dfrac{q \cdot r - s \cdot p}{q \cdot s}$}}[/tex]
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⠀⠀Porém sabemos que o produto e a diferença de dois números inteiros sempre resultará em um valor inteiro, ou seja, teríamos que x pode ser escrito como uma fração de (qr - sp) / qs, ou seja, x seria um número racional: o que seria absurdo pois definimos inicialmente x é um número irracional.
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e) A diferença...
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⠀⠀ ❌ Falso. Um contra-exemplo seria:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{3}{4}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{2 - 3}{4}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{-1}{4}$}}[/tex]
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
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⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
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