Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria espacial e plana.
Devemos calcular a área lateral, total e o volume da pirâmide regular da figura, cuja aresta da base mede [tex]8~cm[/tex] e a aresta da pirâmide mede [tex]20~cm[/tex].
Primeiro, calculemos a área lateral desta pirâmide. Observe que esta é uma pirâmide hexagonal regular, logo as faces laterais são triângulos isósceles.
A área lateral será calculada pela soma das áreas dos triângulos isósceles: [tex]A_{lateral}=6\cdot A_{\triangle}[/tex]
Antes, calculamos a altura da face triangular ou apótema da pirâmide, utilizando o Teorema de Pitágoras:
[tex]\left(\dfrac{8}{2}\right)^2+{h_{face}}^2=20^2\\\\\\ 4^2+{h_{face}}^2=20^2\\\\\\ 16+{h_{face}}^2=400\\\\\\ {h_{face}}^2=384\\\\\\ h_{face}=\sqrt{384}~cm\\\\\\ h_{face}=8\sqrt{6}~cm[/tex]
Então, utilizando a fórmula [tex]A_{triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}[/tex], temos:
[tex]A_{lateral}=6\cdot\dfrac{8\cdot8\sqrt{6}}{2}[/tex]
Multiplique os valores
[tex]A_{lateral}=192\sqrt{6}~cm^2[/tex]
A área total será dada pela soma [tex]A_{lateral}+A_{base}[/tex].
A área da base é calculada ao dividirmos o hexágono regular em seis triângulos equiláteros.
O lado destes triângulos é igual ao lado do hexágono e sua altura é igual ao apótema, que mede [tex]\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}[/tex]. Assim, temos:
[tex]A_{base}=6\cdot\dfrac{8\cdot\dfrac{8\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex]
Multiplique os valores
[tex]A_{base}=96\sqrt{3}~cm^2[/tex]
Logo, a área total é igual a [tex]192\sqrt{6}+96\sqrt{3}~cm^2[/tex].
O volume da pirâmide é calculado pela fórmula: [tex]V=\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}[/tex]
Precisamos ainda calcular a altura da pirâmide, utilizando novamente o Teorema de Pitágoras, com o apótema da base e apótema da pirâmide.
[tex]{h_{p}}^2+a^2= A^2\\\\\\ {h_{p}}^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{2}\right)^2=18^2\\\\\\ {h_{p}}^2+48=384\\\\\\ {h_{p}}^2=336\\\\\\ h_p=\sqrt{336}\\\\\\ h_p=4\sqrt{21}[/tex]
Logo, teremos:
[tex]V=\dfrac{96\sqrt{3}\cdot4\sqrt{21}}{3}\\\\\\ V=384\sqrt{7}~cm^3[/tex]
Este eram os resultados que buscávamos.
