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Derive a função f(x) = tan \frac{1}{x}

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função [tex]f(x)=\tan\left(\dfrac{1}{x}\right)[/tex].

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]x[/tex]:

[tex](f(x))'=\left(\tan\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)'[/tex]

Para calcularmos esta derivada, lembre-se:

  • A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: [tex](f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))[/tex].
  • A derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.
  • A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex].

Aplique a regra da cadeia

[tex]f'(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)'\cdot(\tan)'\left(\dfrac{1}{x}\right)[/tex]

Calcule a derivada da potência, lembrando que [tex]\dfrac{1}{x}=x^{-1}[/tex] e a derivada da função tangente

[tex]f'(x)=(-1)\cdot x^{-1-1}\cdot\sec^2\left(\dfrac{1}{x}\right)[/tex]

Some os valores no expoente e reescreva como fração

[tex]f'(x)=-x^{-2}\cdot\sec^2\left(\dfrac{1}{x}\right)\\\\\\ f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\cdot\sec^2\left(\dfrac{1}{x}\right)[/tex]

Esta é a derivada desta função.

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