Olá, boa tarde.
Para resolvermos o seguinte sistema de equações lineares, devemos nos relembrar de algumas propriedades.
Seja o sistema:
[tex]\begin{cases}x-3y+2z=14\\2x+5y-z=-9\\-3x-y+2z=2\\\end{cases}[/tex]
Reescrevemos o sistema na forma de matriz ampliada
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\2&5&-1&-9\\-3&-1&2&2\\\end{array}\right][/tex]
Utilizando o primeiro elemento como pivô, multiplicamos sua linha por uma constante e somamos às linhas abaixo, de modo que tenhamos uma matriz triangular ou escalonada.
Multiplique a primeira linha por um fator [tex](-2)[/tex] e some à segunda linha:
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\0&11&-5&-37\\-3&-1&2&2\\\end{array}\right][/tex]
Multiplique a primeira linha por um fator [tex]3[/tex] e some à terceira linha:
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\0&11&-5&-37\\0&-10&8&44\\\end{array}\right][/tex]
Então, escolhemos o segundo elemento da diagonal principal como pivô e continuamos o processo.
Multiplique a segunda linha por um fator [tex]\dfrac{10}{11}[/tex] e some à terceira linha
[tex]\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&14\\\\0&11&-5&-37\\\\0&0&\dfrac{38}{11}&\dfrac{114}{11}\\\end{array}\right][/tex]
Reescrevemos o sistema escalonado
[tex]\begin{cases}x-3y+2z=14\\\\11y-5z=-37\\\\\dfrac{38}{11}z=\dfrac{114}{11}\\\end{cases}[/tex]
Da última equação, temos:
[tex]\dfrac{38}{11}z=\dfrac{114}{11}[/tex]
Dividindo ambos os lados da equação por [tex]\dfrac{38}{11}[/tex], temos:
[tex]z=\dfrac{\dfrac{114}{11}}{\dfrac{38}{11}}[/tex]
Calcule a fração de frações
[tex]z=\dfrac{114}{38}=3[/tex]
Da segunda equação, temos:
[tex]11y-5z=-37[/tex]
Substituindo o resultado que encontramo temos:
[tex]11y-5\cdot3=-37[/tex]
Multiplique os valores
[tex]11y-15=-37[/tex]
Some [tex]15[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]11y=-22[/tex]
Divida ambos os lados da equação por um fator [tex]11[/tex]
[tex]y=\dfrac{-22}{11}=-2[/tex]
Da primeira equação, temos:
[tex]x-3y+2z=14[/tex]
Substituindo os resultados que encontramos, temos:
[tex]x-3\cdot(-2)+2\cdot3=14[/tex]
Multiplique e some os valores
[tex]x+6+6=14\\\\\\ x +12=14[/tex]
Subtraia [tex]12[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]x=2[/tex]
Assim, temos o conjunto solução deste sistema de equações:
[tex]\boxed{\bold{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,~z)=(2,\,-2,~3)\}}}[/tex]
