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Sagot :
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre área de regiões delimitadas por curvas e integração.
Seja [tex]R[/tex] a região delimitada por duas curvas [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)>g(x)[/tex]. A área desta região pode ser calculada pela integral: [tex]\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a ^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx[/tex].
Devemos determinar a área da região delimitada pelas curvas [tex]y=2x^2-2[/tex] e [tex]y=x+1[/tex].
Primeiro, encontramos o intervalo em que esta região pertence, igualando as funções:
[tex]2x^2-2=x+1[/tex]
Subtraia [tex]x+1[/tex] em ambos os lados da equação e some os termos semelhantes
[tex]2x^2-x-3=0[/tex]
Esta é uma equação quadrática completa de coeficientes reais [tex]ax^2+bx+c=0,~a\neq0[/tex]. Utilizamos a fórmula resolutiva [tex]x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex] para encontrarmos suas soluções:
[tex]x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{4}\\\\\\ x=\dfrac{1\pm5}{4}[/tex]
Separamos as soluções:
[tex]x=\dfrac{1-5}{4}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{1+5}{4}\\\\\\ x=\dfrac{-4}{4}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{6}{4}\\\\\\ x=-1~~\bold{ou}~~x=\dfrac{3}{2}[/tex]
Assim, o intervalo de integração é: [tex]\left[-1,~\dfrac{3}{2}\right][/tex]. Observe que, neste intervalo, [tex]x+1>2x^2-2[/tex]. Desta forma, a área da região delimitada por estas curvas será calculada pela integral:
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x+1-(2x^2-2)\,dx[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x+1-2x^2+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}-2x^2+x+3\,dx}[/tex]
Para calcular esta integral, lembre-se que:
- A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx[/tex].
- A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx[/tex].
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex]^.
- A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a ^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex].
Aplique a regra da soma
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}-2x^2\,dx+\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x\,dx+\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}3\,dx}[/tex]
Aplique a regra da constante
[tex]\displaystyle{-2\cdot\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x^2\,dx+\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}x\,dx+3\cdot\int_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}1\,dx}[/tex]
Aplique a regra da potência, lembrando que[tex]x=x^1[/tex] e [tex]1=x^0[/tex] .
[tex]-2\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}[/tex]
Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os valores
[tex]-\dfrac{2x^{3}}{3}+\dfrac{x^2}{2}+3x~\biggr|_{-1}^{\biggr{\frac{3}{2}}}[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]-\dfrac{2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}}{3}+\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{2}+3\cdot\dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{2\cdot(-1)^{3}}{3}+\dfrac{(-1)^2}{2}+3\cdot(-1)\right)[/tex]
Calcule as potências e efetue a propriedade distributiva da multiplicação
[tex]-\dfrac{2\cdot\dfrac{27}{8}}{3}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{2}+\dfrac{9}{2}-\left(-\dfrac{2\cdot(-1)}{3}+\dfrac{1}{2}-3\right)\\\\\\ -\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{9}{2}-\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-3\right)\\\\\\ -\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{9}{2}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}+3[/tex]
Some as frações
[tex]\dfrac{-9\cdot6+9\cdot3+9\cdot12-2\cdot8-1\cdot12+3\cdot24}{24}\\\\\\ \dfrac{-54+27+108-16-12+72}{24}\\\\\\ \dfrac{125}{24}~\bold{u.~a}[/tex]
Esta é a área da região delimitada por estas curvas.
Observe a imagem em anexo: em azul, temos a curva [tex]y=2x^2-2[/tex] e em vermelho, temos a reta [tex]y=x+1[/tex]. Em roxo, temos a área da região delimitada por estas funções.
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