O Sistersinspirit.ca está aqui para ajudá-lo a encontrar respostas para todas as suas dúvidas com a ajuda de especialistas. Encontre soluções rápidas e confiáveis para suas dúvidas de uma comunidade de especialistas dedicados. Explore soluções abrangentes para suas perguntas de uma ampla gama de profissionais em nossa plataforma amigável.
Sagot :
Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre integrais duplas.
Devemos resolver a seguinte integral dupla: [tex]\displaystyle{\iint_R(x+y)\,dA[/tex], em que [tex]R[/tex] é a região do semicírculo limitado por [tex]y=\sqrt{4-x^2}[/tex] e [tex]y=0[/tex].
Primeiro, parametrizamos a curva. Fazemos:
[tex]\begin{cases}x=r\cos(\theta)\\y=r\sin(\theta)\\\end{cases}[/tex]
Calculamos os limites de integração
[tex]r\sin(\theta)=\sqrt{4-r^2\cos^2\theta}\\\\\\r^2\sin^2(\theta)=4-r^2\cos^2(\theta)\\\\\\ r^2\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\theta)=4\\\\\\ r^2\cdot\underbrace{(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta))}_1=4\\\\\\ r^2 =4\\\\\\ r=\pm2[/tex]
Assim, os limites de integração serão [tex]-2\leq r\leq 2[/tex] e [tex]0\leq\theta\leq\pi[/tex], tendo em vista que a região é um semicírculo.
Calculamos o determinante jacobiano da transformação:
[tex]J=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\end{bmatrix}\\\\\\ J=\begin{bmatrix}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)\\\end{bmatrix}[/tex]
Calcule o determinante
[tex]\det|J|=\begin{Vmatrix}\cos(\theta)&-r\sin(\theta)\\\sin(\theta)&r\cos(\theta)\\\end{Vmatrix}\\\\\\ \det|J|=|\cos(\theta)\cdot(r\cos(\theta))-(-r\sin(\theta))\cdot\sin(\theta)|\\\\\\ \det|J|=|r\cos^2(\theta)+r\sin^2(\theta)|\\\\\\ \det|J|=|r\cdot\underbrace{(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))}_1|\\\\\\ \det|J|=|r|=r[/tex]
A integral dupla se torna: [tex]\displaystyle{\iint_R f(x,~y)\,dA\Rightarrow\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}f(r,~\theta)\cdot\det|J|\,dr\,d\theta}[/tex]. Assim, teremos:
[tex]\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_{-2}^2(r\cos(\theta)+r\sin(\theta))\cdot r\,dr\,d\theta[/tex]
Fatore a expressão no integrando
[tex]\displaystyle{\int_0^{\pi}\int_{-2}^2r^2\cdot(\cos(\theta)+\sin(\theta))\,dr\,d\theta[/tex]
A integral mais interna diz respeito à variável [tex]r[/tex]. Logo, fazemos:
[tex]\displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))\cdot\int_{-2}^2r^2\,dr\,d\theta[/tex]
Calculamos a integral utilizando a regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex].
[tex]\displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))\cdot\left(\dfrac{r^{2+1}}{2+1}\right)~\biggr|_{-2}^2\,d\theta[/tex]
Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a ^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a ^b=F(b)-F(a)[/tex].
[tex]\displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))\cdot\left(\dfrac{r^3}{3}\right)~\biggr|_{-2}^2\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))\cdot\left(\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{(-2)^3}{3}\right)\,d\theta}[/tex]
Calcule as potências, some e multiplique os valores
[tex]\displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))\cdot\left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{-8}{3}\right)\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))\cdot\dfrac{16}{3}\,d\theta}[/tex]
Aplique a regra da constante
[tex]\dfrac{16}{3}\cdot\displaystyle{\int_0^{\pi}(\cos(\theta)+\sin(\theta))}\,d\theta}[/tex]
Aplique a regra da soma: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx[/tex]
[tex]\dfrac{16}{3}\cdot\left(\displaystyle{\int_0^{\pi}\cos(\theta)\,d\theta+\int_0^{\pi}\sin(\theta)}\,d\theta}\right)[/tex]
Calcule as integrais, sabendo que [tex]\displaystyle{\int\cos(\theta)\,d\theta=\sin(\theta)+C[/tex] e [tex]\displaystyle{\int\sin(\theta)\,d\theta=-\cos(\theta)+C[/tex]
[tex]\dfrac{16}{3}\cdot\left(\sin(\theta)-\cos(\theta)\right)~\biggr|_0^{\pi}[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]\dfrac{16}{3}\cdot[\sin(\pi)-\cos(\pi)-(\sin(0)-\cos(0))][/tex]
Sabendo que [tex]\sin(\pi)=\sin(0)=0[/tex], [tex]\cos(\pi)=-1[/tex] e [tex]\cos(0)=1[/tex], teremos:
[tex]\dfrac{16}{3}\cdot[0-(-1)-(0-1)]\\\\\\ \dfrac{16}{3}\cdot2\\\\\\ \dfrac{32}{3}[/tex]
Este é o resultado desta integral.
Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Agradecemos sua visita. Nossa plataforma está sempre aqui para oferecer respostas precisas e confiáveis. Volte a qualquer momento. Sistersinspirit.ca, sua fonte confiável de respostas. Não se esqueça de voltar para mais informações.