Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo de integrais.
Devemos calcular a integral da função [tex]f(x)=10x+2[/tex] no intervalo [tex][1,~2][/tex].
Sabemos que a integral de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é dada por: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx[/tex]. Assim, teremos:
[tex]\displaystyle{\int_1^2 10x+2\,dx[/tex]
Para calcular esta integral, lembre-se que:
- A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int g(x)\pm h(x)\,dx=\int g(x)\,dx\pm\int h(x)\,dx[/tex].
- A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx = c\cdot \int f(x)\,dx[/tex].
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex].
- A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].
Aplique a regra da soma
[tex]\displaystyle{\int_1^2 10x\,dx+\int_1^22\,dx[/tex]
Aplique a regra da constante
[tex]\displaystyle{10\cdot\int_1^2x\,dx+2\cdot\int_1^21\,dx[/tex]
Aplique a regra da potência, sabendo que [tex]1=x^0[/tex]
[tex]10\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_1^2[/tex]
Some os valores no expoente e denominador e multiplique os valores
[tex]10\cdot\dfrac{x^2}{2}+2\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_1^2\\\\\\ 5x^2+2x~\biggr|_1^2[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]5\cdot2^2+2\cdot2-(5\cdot 1^2+2\cdot1)[/tex]
Calcule as potências e multiplique os valores
[tex]5\cdot4+2\cdot2-(5\cdot1+2\cdot1)\\\\\\ 20+4-(5+2)[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores
[tex]20+4-5-2\\\\\\ 17[/tex]
Este é o resultado desta integral e é a resposta contida na letra c).
