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Sagot :
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⠀⠀☞ Através de uma análise geométrica concluímos que existem dois pontos que satisfazem as condições do vértice C do triângulo equilátero ABC: (1 + √3, 1 + √3) e (1 - √3, 1 - √3). ✅
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⠀⠀ Vamos observar graficamente os nossos pontos (as imagens a seguir não são visualizáveis pelo App, experimente abrir pelo seu navegador do celular):
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[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(0,2){\circle*{0.13}}\put(0.25,2.25){$\sf P_{A}$}\put(2,0){\circle*{0.13}}\put(2.25,0.25){$\sf P_{B}$}\bezier(0,2)(1,1)(2,0)\end{picture}[/tex]
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⠀⠀O comprimento do segmento AB é de:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf d_{ab}^2 = (2 - 0)^2 + (0 - 2)^2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf d_{ab}^2 = 8$}}[/tex]
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⠀⠀Sabemos que o nosso ponto C estará na reta mediatriz do segmento AB, reta esta que passa pela origem e que possui inclinação = 1, ou seja, y = x :
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[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(0,2){\circle*{0.13}}\put(0.25,2.25){$\sf P_{A}$}\put(2,0){\circle*{0.13}}\put(2.25,0.25){$\sf P_{B}$}\bezier(0,2)(1,1)(2,0)\bezier(-4,-4)(0,0)(4,4)\put(2,4){\LARGE\sf y = x}\end{picture}[/tex]
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⠀⠀Observe que existem dois pontos que equidistam dos pontos A e B com um comprimento igual ao segmento AB:
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[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(0,2){\circle*{0.13}}\put(0.25,2.25){$\sf P_{A}$}\put(2,0){\circle*{0.13}}\put(2.25,0.25){$\sf P_{B}$}\bezier(0,2)(1,1)(2,0)\bezier(-4,-4)(0,0)(4,4)\put(2.85,2.85){\circle*{0.13}}\put(-0.5,-0.5){\circle*{0.13}}\put(2,4){\LARGE\sf y = x}\end{picture}[/tex]
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⠀⠀"- Mas como encontraremos estes pontos?"
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⠀⠀Uma das formas é através da construção geométrica de um círculo com origem em A ou B (escolhamos A) e de raio igual ao comprimento do segmento AB:
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[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(0,2){\circle*{0.13}}\put(0.25,2.25){$\sf P_{A}$}\put(2,0){\circle*{0.13}}\put(2.25,0.25){$\sf P_{B}$}\bezier(0,2)(1,1)(2,0)\bezier(-4,-4)(0,0)(4,4)\put(2.85,2.85){\circle*{0.13}}\put(-0.5,-0.5){\circle*{0.13}}\bezier{40}(-2.2,0.3)(0.1,-1.3)(2,0)\bezier{30}(2,0)(3.2,1.3)(2.8,3.2)\put(2,4){\LARGE\sf y = x}\end{picture}[/tex]
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[tex]\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~x^2 +(y - 2)^2 = 8~~}}}[/tex]
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⠀⠀Para encontrarmos a coordenada em y dos dois pontos nós podemos substituir o valor de x da equação da circunferência pelo valor de x da equação da reta:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf y^2 + \overbrace{\sf y^2 - 4y + 4}^{(y - 2)^2} = 8$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 2y^2 - 4y - 4 = 0$}}[/tex]
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⠀⠀Pela fórmula de Bháskara temos:
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[tex]\Large\gray{\blue{\text{$\sf \pink{\overbrace{2}^{a}}y^2 + \green{\overbrace{(-4)}^{b}}y + \gray{\overbrace{(-4)}^{c}} = 0$}}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf \Delta = \green{(-4)}^2 - 4 \cdot \pink{2} \cdot \gray{(-4)} = 48$}}[/tex]
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[tex]\begin{cases}\large\blue{\text{$\sf y_{1} = \dfrac{-(-4) + \sqrt{48}}{2 \cdot 2} = \dfrac{4 + 4\sqrt{3}}{4} = 1 + \sqrt{3}$}}\\\\\\\large\blue{\text{$\sf y_{2} = \dfrac{-(-4) - \sqrt{48}}{2 \cdot 2} = \dfrac{4 - 4\sqrt{3}}{4} = 1 - \sqrt{3}$}}\end{cases}[/tex]
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⠀⠀Conhecendo o valor das coordenadas em y de ambos os pontos sabemos que estes são os mesmos valores das coordenadas em x pela reta y = x, ou seja, nossos dois pontos serão:
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[tex]\Large\begin{cases}\blue{\text{$\boxed{\sf C_1 = (1 + \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})}$}}\\\\\\\blue{\text{$\boxed{\sf C_2 = (1 - \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})}$}}\end{cases}[/tex] ✅
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
⠀⠀☀️ Leia mais sobre:
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✈ Distância entre dois pontos (https://brainly.com.br/tarefa/37997846)
✈ Reta mediatriz entre dois pontos (https://brainly.com.br/tarefa/37730320)
✈ Equação da circunferência (https://brainly.com.br/tarefa/37728962)
✈ Função de Grau 2 (brainly.com.br/tarefa/38050217)
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⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
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