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Quantas soluções tem a equação 2cos²x + cosx - 1 = 0, no universo U = [3π/2, 2π ]

Sagot :

Kin07

Resposta:

[tex]\sf \displaystyle 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0[/tex]

Resolução:

Fazendo [tex]\sf \textstyle \cos = t[/tex], temos:

[tex]\sf \textstyle 2t^2 +t - 1 = 0[/tex]

[tex]\sf \displaystyle \Delta = b^2 -\:4ac[/tex]

[tex]\sf \displaystyle \Delta = 1^2 -\:4 \cdot 2 \cdot (-1)[/tex]

[tex]\sf \displaystyle \Delta = 1 + 8[/tex]

[tex]\sf \displaystyle \Delta = 9[/tex]

[tex]\sf \displaystyle t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,1 \pm \sqrt{ 9 } }{2 \cdot 2} = \dfrac{-\,1 \pm 3 }{4} \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = &\sf \dfrac{-\,1 + 3}{4} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\ \sf t_2 = &\sf \dfrac{-\: 1- 3}{4} = \dfrac{- 4}{2} = - 1\end{cases}[/tex]

Então:

[tex]\sf \displaystyle \begin{cases} \sf \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi} {3} + 2k\pi \quad ou \quad x = \dfrac{5 \pi}{3} +2k\pi \\\\\sf \cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi +2k \pi \end{cases}[/tex]

[tex]\boldsymbol{ \sf \displaystyle \bigg \{ S = x \in \mathbb{R}\mid x = \frac{\pi}{3} +2k\pi \quad ou \quad x = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad ou \quad \pi +2k\pi, k \in \mathbb{Z}\bigg\} }[/tex]

Explicação passo-a-passo:

De [tex]\sf \textstyle \cos x = -\; 1[/tex], obtemos :

[tex]\sf \textstyle cosx = cos\pi \Rightarrow x = \pi + 2k\pi[/tex]

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dougOcara

Resposta:

Somente uma solução cujo valor é 5π/3 rad.

Explicação passo-a-passo:

2cos²x + cosx - 1 = 0

Chamando y=cosx

2y²+y-1=0

[tex]\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~2y^{2}+y-1=0~~e~comparando~com~(a)y^{2}+(b)y+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=2{;}~b=1~e~c=-1\\\\C\'alculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(1)^{2}-4(2)(-1)=1-(-8)=9\\\\C\'alculo~das~raizes:&\\y^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(1)-\sqrt{9}}{2(2)}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1\\\\y^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(1)+\sqrt{9}}{2(2)}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=0,5\\\\S=\{-1,~0,5\}[/tex]

Para y'= -1:

y'=cosx= -1

cosx= cos(π+k2π), para k={0,1,2,3}

x=π+k2π, para k={0,1,2,3} => ∉ [3π/2, 2π ]

Para y''= 0,5:

y''=cosx= 0,5

1a solução:

cosx= cos(π/3+k2π), para k={0,1,2,3}

x=π/3+k2π, para k={0,1,2,3} => ∉ [3π/2, 2π ]

2a solução:

cosx= cos(5π/3+k2π), para k={0,1,2,3}

x=5π/3+k2π, para k={0,1,2,3}

Para k=0: x=5π/3+0.2π=5π/3 rad => ∈[3π/2, 2π ] ∴ uma solução

Para k=1: x=5π/3+1.2π=11π/3 rad => ∉ [3π/2, 2π ]

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