Answered

Descubra respostas para suas perguntas no Sistersinspirit.ca, a plataforma de Q&A mais confiável e eficiente para todas as suas necessidades. Obtenha respostas rápidas e confiáveis para suas perguntas de nossa dedicada comunidade de especialistas em nossa plataforma. Experimente a facilidade de obter respostas rápidas e precisas para suas perguntas com a ajuda de profissionais em nossa plataforma.

Calcule a área entre as funções, y= x² - 2x -2 e y = x+2, no intervalo de -1 e 1.

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre área de regiões limitadas por curvas e integração.

Devemos calcular a área da região delimitada pelas funções [tex]y=x^2-2x-2[/tex] e [tex]y=x+2[/tex], no intervalo [tex][-1,~1][/tex].

Lembre-se que, dadas duas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo, em que [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculada pela integral: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx[/tex].

Assim, ao analisarmos o gráfico da função (imagem em anexo), conclui-se que neste intervalo [tex]x+2>x^2-2x-2[/tex]. A área da região delimitada por estas curvas será calculada pela seguinte integral:

[tex]\displaystyle{\int_{-1}^1x+2-(x^2-2x-2)\,dx[/tex]

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

[tex]\displaystyle{\int_{-1}^1x+2-x^2+2x+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1-x^2+3x+4\,dx[/tex]

Para calcular esta integral, lembre-se que:

  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}[/tex].
  • A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx[/tex].
  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex].
  • A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].

Aplique a regra da soma

[tex]\displaystyle{\int_{-1}^1-x^2\,dx+\int_{-1}^13x\,dx+\int_{-1}^14\,dx[/tex]

Aplique a regra da constante

[tex]\displaystyle{-\int_{-1}^1x^2\,dx+3\cdot\int_{-1}^1x\,dx+4\cdot\int_{-1}^11\,dx[/tex]

Aplique a regra da potência, lembrando que [tex]1=x^0[/tex]

[tex]-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+3\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+4\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^1[/tex]

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

[tex]-\dfrac{x^3}{3}+3\cdot\dfrac{x^2}{2}+4\cdot x~\biggr|_{-1}^1\\\\\\ -\dfrac{1^3}{3}+3\cdot\dfrac{1^2}{2}+4\cdot 1-\left(-\dfrac{(-1)^3}{3}+3\cdot\dfrac{(-1)^2}{2}+4\cdot (-1)\right)[/tex]

Calcule as potências e multiplique os valores

[tex]-\dfrac{1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot 1-\left(-\dfrac{-1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot(-1)\right)\\\\\\ -\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-4\right)[/tex]

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

[tex]-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+4\\\\\\ 8 -\dfrac{2}{3}\\\\\\ \dfrac{22}{3}~\bold{u.~a}[/tex]

Esta é a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo.

View image SubGui
Agradecemos sua visita. Esperamos que as respostas que encontrou tenham sido benéficas. Não hesite em voltar para mais informações. Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Sistersinspirit.ca está aqui para suas perguntas. Não se esqueça de voltar para obter novas respostas.