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Calcule a área entre as funções, y= x² - 2x -2 e y = x+2, no intervalo de -1 e 1.

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre área de regiões limitadas por curvas e integração.

Devemos calcular a área da região delimitada pelas funções [tex]y=x^2-2x-2[/tex] e [tex]y=x+2[/tex], no intervalo [tex][-1,~1][/tex].

Lembre-se que, dadas duas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo, em que [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculada pela integral: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx[/tex].

Assim, ao analisarmos o gráfico da função (imagem em anexo), conclui-se que neste intervalo [tex]x+2>x^2-2x-2[/tex]. A área da região delimitada por estas curvas será calculada pela seguinte integral:

[tex]\displaystyle{\int_{-1}^1x+2-(x^2-2x-2)\,dx[/tex]

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

[tex]\displaystyle{\int_{-1}^1x+2-x^2+2x+2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1-x^2+3x+4\,dx[/tex]

Para calcular esta integral, lembre-se que:

  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}[/tex].
  • A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx[/tex].
  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex].
  • A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].

Aplique a regra da soma

[tex]\displaystyle{\int_{-1}^1-x^2\,dx+\int_{-1}^13x\,dx+\int_{-1}^14\,dx[/tex]

Aplique a regra da constante

[tex]\displaystyle{-\int_{-1}^1x^2\,dx+3\cdot\int_{-1}^1x\,dx+4\cdot\int_{-1}^11\,dx[/tex]

Aplique a regra da potência, lembrando que [tex]1=x^0[/tex]

[tex]-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+3\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+4\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^1[/tex]

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

[tex]-\dfrac{x^3}{3}+3\cdot\dfrac{x^2}{2}+4\cdot x~\biggr|_{-1}^1\\\\\\ -\dfrac{1^3}{3}+3\cdot\dfrac{1^2}{2}+4\cdot 1-\left(-\dfrac{(-1)^3}{3}+3\cdot\dfrac{(-1)^2}{2}+4\cdot (-1)\right)[/tex]

Calcule as potências e multiplique os valores

[tex]-\dfrac{1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot 1-\left(-\dfrac{-1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot(-1)\right)\\\\\\ -\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-4\right)[/tex]

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

[tex]-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+4\\\\\\ 8 -\dfrac{2}{3}\\\\\\ \dfrac{22}{3}~\bold{u.~a}[/tex]

Esta é a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo.

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