bellosamira4
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Determine o resto da divisão de 2^101 + 898^6 por 7.

Sagot :

talessilvaamarp9tcph

[tex]898 = 2\cdot(449)[/tex]

[tex]2^{101} +898^6 = 2^6\cdot\left(2^{95}+449^6\right)[/tex]

[tex]2^3 \equiv 1 \mod(7) \\~\\2^{93} \equiv 1 \mod(7) \\~\\2^{95} \equiv 4 \mod(7)[/tex]

Pelo pequeno teorema de Fermat:

[tex]449^{7-1} \equiv 1 \mod(7) \\~\\449^{6} \equiv 1 \mod(7)[/tex]

Temos que:

[tex]2^6\cdot\left(2^{95}+449^6\right) \equiv \left( 2^3\right)^2 \cdot\left(2^{95}+449^6\right) \mod(7) \\~\\2^6\cdot\left(2^{95}+449^6\right) \equiv 1^2 \cdot\left(2^{95}+449^6\right) \mod(7) \\~\\2^6\cdot\left(2^{95}+449^6\right) \equiv 2^{95}+449^6\right \mod(7) \\~\\2^6\cdot\left(2^{95}+449^6\right) \equiv 4+1\right \mod(7) \\~\\2^6\cdot\left(2^{95}+449^6\right) \equiv 5\right \mod(7)[/tex]

A divisão dá resto 5.

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