Answered

O Sistersinspirit.ca facilita a busca por soluções para perguntas cotidianas e complexas com a ajuda de nossa comunidade. Explore soluções abrangentes para suas perguntas de uma ampla gama de profissionais em nossa plataforma amigável. Explore soluções abrangentes para suas perguntas de uma ampla gama de profissionais em nossa plataforma amigável.

(Cálculo) Calcule a área da região do plano xy delimitada pelas curvas y = 4x^3 e y = 28 - 4x^3 e pelas retas x = 0 e x = 1.

Cálculo Calcule A Área Da Região Do Plano Xy Delimitada Pelas Curvas Y 4x3 E Y 28 4x3 E Pelas Retas X 0 E X 1 class=

Sagot :

SubGui

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre integrais múltiplas.

A área da região de um plano [tex]z(x,~y)[/tex], limitado pelas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas no intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculado pela integral dupla: [tex]\boxed{\displaystyle{\iint z\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)} z\,dy\,dx}}[/tex].

Devemos calcular a área da região do plano [tex]xy[/tex], delimitada pelas curvas [tex]y=4x^3[/tex] e [tex]y=28-4x^3[/tex] e pelas retas [tex]x=0[/tex] e [tex]x=1[/tex].

Observe que no intervalo limitado pelas retas [tex]x=0[/tex] e [tex]x=1[/tex], [tex]28-4x^3>4x^3[/tex]. Assim, a área da região do plano será calculada pela integral dupla:

[tex]\displaystyle{\int_0^1\int_{4x^3}^{28-4x^3} xy\,dy\,dx}[/tex].

Para calcular a integral mais interna, consideremos [tex]x[/tex] como uma constante, visto que a função a ser integrada diz respeito à variável [tex]y[/tex].

Assim, teremos:

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\int_{4x^3}^{28-4x^3} y\,dy\,dx}[/tex].

Lembre-se que:

  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int y^n\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C}[/tex].
  • A integral definida de uma função, contínua e limitada por duas funções ou em um intervalo é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_{g(x)}^{f(x)} f(y)\,dy=F(y)~\biggr|_{g(x)}^{f(x)}=F(f(x))-F(g(x))}[/tex].
  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.

Aplique a regra da potência

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{y^{1+1}}{1+1}\right)~\biggr|_{4x^3}^{28-4x^3}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 x\cdot\dfrac{y^2}{2}\biggr|_{4x^3}^{28-4x^3}\,dx}[/tex]

Aplique os limites de integração

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{(28-4x^3)^2}{2}-\dfrac{(4x^3)^2}{2}\right)\,dx}[/tex]

Calcule as potências e some as frações

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{784-224x^3+16x^6}{2}-\dfrac{16x^6}{2}\right)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{784-224x^3}{2}\right)\,dx}[/tex]

Simplifique a fração e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot(392-112x^3)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 392x-112x^4\,dx}[/tex]

Aplique a regra da soma

[tex]\displaystyle{\int_0^1392x\,dx-\int_0^1112x^4\,dx}[/tex]

Aplique a regra da constante

[tex]\displaystyle{392\cdot\int_0^1x\,dx-112\cdot\int_0^1x^4\,dx}[/tex]

Aplique a regra da potência

[tex]392\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-112\cdot\dfrac{x^{4+1}}{4+1}~\biggr|_0^1\\\\\\ 392\cdot\dfrac{x^2}{2}-112\cdot\dfrac{x^5}{5}~\biggr|_0^1\\\\\\ 196x^2-\dfrac{112x^5}{5}~\biggr|_0^1[/tex]

Aplique os limites de integração

[tex]196\cdot1^2-\dfrac{112\cdot1^5}{5}-\left(196\cdot0^2-\dfrac{112\cdot0^5}{5}\right)\\\\\\ 196-\dfrac{112}{5}[/tex]

Some os valores

[tex]\dfrac{980-112}{5}\\\\\\ \dfrac{868}{5}~\bold{u.~a}[/tex]

Esta é a área da região do plano limitada por estas curvas neste intervalo.

Esperamos que tenha achado útil. Sinta-se à vontade para voltar a qualquer momento para mais respostas precisas e informações atualizadas. Obrigado por sua visita. Estamos comprometidos em fornecer as melhores informações disponíveis. Volte a qualquer momento para mais. Visite o Sistersinspirit.ca para obter novas e confiáveis respostas dos nossos especialistas.