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(Cálculo) Calcule a área da região do plano xy delimitada pelas curvas y = 4x^3 e y = 28 - 4x^3 e pelas retas x = 0 e x = 1.

Cálculo Calcule A Área Da Região Do Plano Xy Delimitada Pelas Curvas Y 4x3 E Y 28 4x3 E Pelas Retas X 0 E X 1 class=

Sagot :

SubGui

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre integrais múltiplas.

A área da região de um plano [tex]z(x,~y)[/tex], limitado pelas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas no intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculado pela integral dupla: [tex]\boxed{\displaystyle{\iint z\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)} z\,dy\,dx}}[/tex].

Devemos calcular a área da região do plano [tex]xy[/tex], delimitada pelas curvas [tex]y=4x^3[/tex] e [tex]y=28-4x^3[/tex] e pelas retas [tex]x=0[/tex] e [tex]x=1[/tex].

Observe que no intervalo limitado pelas retas [tex]x=0[/tex] e [tex]x=1[/tex], [tex]28-4x^3>4x^3[/tex]. Assim, a área da região do plano será calculada pela integral dupla:

[tex]\displaystyle{\int_0^1\int_{4x^3}^{28-4x^3} xy\,dy\,dx}[/tex].

Para calcular a integral mais interna, consideremos [tex]x[/tex] como uma constante, visto que a função a ser integrada diz respeito à variável [tex]y[/tex].

Assim, teremos:

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\int_{4x^3}^{28-4x^3} y\,dy\,dx}[/tex].

Lembre-se que:

  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int y^n\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C}[/tex].
  • A integral definida de uma função, contínua e limitada por duas funções ou em um intervalo é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_{g(x)}^{f(x)} f(y)\,dy=F(y)~\biggr|_{g(x)}^{f(x)}=F(f(x))-F(g(x))}[/tex].
  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.

Aplique a regra da potência

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{y^{1+1}}{1+1}\right)~\biggr|_{4x^3}^{28-4x^3}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 x\cdot\dfrac{y^2}{2}\biggr|_{4x^3}^{28-4x^3}\,dx}[/tex]

Aplique os limites de integração

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{(28-4x^3)^2}{2}-\dfrac{(4x^3)^2}{2}\right)\,dx}[/tex]

Calcule as potências e some as frações

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{784-224x^3+16x^6}{2}-\dfrac{16x^6}{2}\right)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{784-224x^3}{2}\right)\,dx}[/tex]

Simplifique a fração e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

[tex]\displaystyle{\int_0^1x\cdot(392-112x^3)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 392x-112x^4\,dx}[/tex]

Aplique a regra da soma

[tex]\displaystyle{\int_0^1392x\,dx-\int_0^1112x^4\,dx}[/tex]

Aplique a regra da constante

[tex]\displaystyle{392\cdot\int_0^1x\,dx-112\cdot\int_0^1x^4\,dx}[/tex]

Aplique a regra da potência

[tex]392\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-112\cdot\dfrac{x^{4+1}}{4+1}~\biggr|_0^1\\\\\\ 392\cdot\dfrac{x^2}{2}-112\cdot\dfrac{x^5}{5}~\biggr|_0^1\\\\\\ 196x^2-\dfrac{112x^5}{5}~\biggr|_0^1[/tex]

Aplique os limites de integração

[tex]196\cdot1^2-\dfrac{112\cdot1^5}{5}-\left(196\cdot0^2-\dfrac{112\cdot0^5}{5}\right)\\\\\\ 196-\dfrac{112}{5}[/tex]

Some os valores

[tex]\dfrac{980-112}{5}\\\\\\ \dfrac{868}{5}~\bold{u.~a}[/tex]

Esta é a área da região do plano limitada por estas curvas neste intervalo.

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