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calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada por y=x^2 e y=x

Sagot :

SubGui

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre volumes de sólidos de revolução e integração.

Seja uma região delimitada por duas curvas [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex]. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo [tex]x[/tex] neste intervalo, em que [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculado pela fórmula: [tex]\boxed{\bold{\displaystyle{V=\pi\cdot\int_a^b (f(x))^2-(g(x))^2\,dx}}}[/tex].

Devemos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas [tex]y=x^2[/tex] e [tex]y=x[/tex] em torno do eixo [tex]x[/tex].

Primeiro, devemos determinar o intervalo em que esta região está limitada. Igualamos as curvas:

[tex]x^2=x[/tex]

Subtraia [tex]x[/tex] em ambos os lados da equação

[tex]x^2-x=0[/tex]

Fatore a expressão à esquerda da igualdade

[tex]x\cdot(x-1)=0[/tex]

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Assim, temos as soluções:

[tex]x=0~~\bold{ou}~~x-1=0[/tex]

Some [tex]1[/tex] em ambos os lados da segunda solução

[tex]x=0~~\bold{ou}~~x=1[/tex]

Assim, o intervalo de integração é [tex][0,~1][/tex].

Observe que, neste intervalo, [tex]x>x^2[/tex], logo o volume deste sólido será calculado pela integral:

[tex]\bold{V=\pi\cdot\displaystyle{\int_0^1(x)^2-(x^2)^2\,dx}}[/tex]

Calcule as potências

[tex]\bold{V=\pi\cdot\displaystyle{\int_0^1x^2-x^4\,dx}}[/tex]

Para resolver esta integral, lembre-se:

  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx}[/tex].
  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/tex].
  • A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].

Aplique a regra da soma

[tex]\bold{V=\pi\cdot\left(\displaystyle{\int_0^1 x^2\,dx-\int_0^1 x^4\,dx}\right)}[/tex]

Aplique a regra da potência

[tex]\bold{V=\pi\cdot\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-\dfrac{x^{4+1}}{4+1}\right)~\biggr|_0^1}[/tex]

Some os valores no expoente e denominador

[tex]\bold{V=\pi\cdot\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right)~\biggr|_0^1}[/tex]

Aplique os limites de integração

[tex]\bold{V=\pi\cdot\left[\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{1^5}{5}-\left(\dfrac{0^3}{3}-\dfrac{0^5}{5}\right)\right]}[/tex]

Calcule as potências e some os valores

[tex]\bold{V=\pi\cdot\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)}\\\\\\ \bold{V=\pi\cdot\dfrac{5-3}{3\cdot5}}\\\\\\ \bold{V=\pi\cdot\dfrac{2}{15}}[/tex]

Multiplique os valores

[tex]\bold{V=\dfrac{2\pi}{15}~u.~v}[/tex]

Este é o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por estas curvas em torno do eixo [tex]x[/tex].

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