Olá, bom dia.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.
Sejam as matrizes [tex]A=\begin{bmatrix}1&2\\2&0\\\end{bmatrix}[/tex] e [tex]M=\begin{bmatrix}x&-1\\-1&y\\\end{bmatrix}[/tex]. Sabendo que [tex]M=A^{-1}[/tex], devemos determinar o valor do produto [tex]x\cdot y[/tex].
Primeiro, lembre-se que:
[tex]B\cdot B^{-1}=I_n[/tex], em que [tex]B=[b_{ij}]_{n\times n}[/tex] e [tex]I[/tex] é a matriz identidade de ordem [tex]n[/tex].
Dessa forma, fazemos:
[tex]A\cdot M = I[/tex]
Aplicando o Teorema de Binet, em que [tex]\det(B\cdot C)=\det(B)\cdot\det(C)[/tex], temos:
[tex]\det(A\cdot M)=\det(I)\\\\\\ \det(A)\cdot\det(M)=\det(I)\\\\\\ \begin{vmatrix}1&2\\2&0\\\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}x&-1\\-1&y\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\\\end{vmatrix}[/tex]
O determinante de uma matriz de ordem [tex]2[/tex] é calculado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Assim, teremos:
[tex](1\cdot 0-2\cdot2)\cdot(x\cdot y-(-1)\cdot(-1))=1\cdot1-0\cdot0[/tex]
Multiplique e some os valores
[tex](0-4)\cdot(x\cdot y-1)=1-0\\\\\\ -4\cdot(x\cdot y-1)=1[/tex]
Divida ambos os lados da equação por um fator [tex](-4)[/tex]
[tex]x\cdot y-1=-\dfrac{1}{4}[/tex]
Some [tex]1[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]x\cdot y = 1-\dfrac{1}{4}[/tex]
Some as frações
[tex]x\cdot y=\dfrac{4-1}{4}\\\\\\ x\cdot y =\dfrac{3}{4}~~\checkmark[/tex]
Este é o valor numérico deste produto e é a resposta contida na letra d).
