Olá, boa noite.
Para resolvermos esta integral indefinida, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre integração por partes.
Seja a integral:
[tex]\displaystyle{\int x\cdot e^{2x}\,dx}[/tex]
A técnica de integração por partes consiste em escolher uma função e substituí-la como [tex]u[/tex] e outra função por [tex]dv[/tex]. Como critério de escola, utilizamos a propriedade LIATE: priorizam-se as funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de [tex]x[/tex]), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.
Assim, aplicamos as funções na fórmula: [tex]\boxed{\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}}[/tex]
De acordo com a propriedade supracitada, fazemos [tex]u=x[/tex] e [tex]dv=e^{2x}\,dx[/tex].
Diferenciamos a expressão em [tex]u[/tex] e integramos a expressão em [tex]dv[/tex]:
[tex](u)'=(x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}\,dx}\\\\\\ v = \dfrac{e^{2x}}{2}[/tex]
Substituindo estes resultados na fórmula, temos:
[tex]\displaystyle{x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\cdot dx}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^{2x}\,dx}[/tex]
Calcule a integral, fazendo uma substituição [tex]t=2x[/tex]. Diferenciamos a expressão em [tex]t[/tex]:
[tex](t)'=(2x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=2\Rightarrow dt=2\,dx\\\\\\ dx=\dfrac{dt}{2}[/tex]
[tex]\displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^{t}\cdot \dfrac{dt}{2}}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\int e^t\,dt}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{4}\cdot\int e^t\,dt}[/tex]
Sabendo que [tex]\displaystyle{\int e^{x}\,dx=e^x+C}[/tex], temos:
[tex]\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{4}\cdot(e^t+C_1)\\\\\\ \dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{t}}{4}-\dfrac{C_1}{4}[/tex]
Desfaça a substituição em [tex]t[/tex] e considere [tex]-\dfrac{C_1}{4}=C[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C,~C\in\mathbb{R}}[/tex]
Este é o resultado desta integral.
Para resolver esta integral indefinida, precisamos conhecer os seguintes artifícios:
[tex]\int {e^{ax}} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax}[/tex] (integral da função e^(ax))
[tex]\int {u} \, dv = uv - \int{v} \, du[/tex] (integração por partes)
Ou seja, para resolver esta integral em que temos o produto de duas funções de x, precisamos integrar uma das partes e derivar a outra.
Neste caso, faremos:
[tex]u = x\\dv = e^{2x}[/tex]
Podemos notar que na fórmula da integração por partes, precisamos encontrar v e du, daí:
[tex]u = x \Rightarrow du = 1 dx\\dv = e^{2x} \Rightarrow v = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}[/tex]
E aplicando na fórmula, temos:
[tex]\int x\cdot e^{2x} \, dx = x\cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 1 \, dx = \frac{x\cdot e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2x} \, dx[/tex]
A última integral é facilmente resolvida, então:
[tex]\int x\cdot e^{2x} \, dx = \frac{x\cdot e^{2x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{x\cdot e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C[/tex]
Obs.: NUNCA, nunca esqueça da constante de integração C, a não escrita dela na resposta final invalida a resposta.
Espero ter ajudado.
