EvandroxAraujo
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Demostre que 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n+1)/2 , para todo n ∈ N

Sagot :

Mafiza

Observe que é uma P.A, porque é uma sequência em que há uma razão (valor fixo somado) que é igual a 1. Olhe:

1 + 1 = 2

2+1 = 3

3+1 = 4

...

Isso ocorre até o n.

Na P.A, a soma de n termos é dada pela fórmula:

Sn = [(A1 + An) . n ]/ 2, sendo que A1 é o 1° termo e An é o último termo e n a quantidade de termos, que é n nessa P.A.

Quem é o 1° termo? o 1 e Quem é o último termo? o n

Substituindo:

Sn = [(A1 + An) . n ]/ 2

Sn= ( 1 + n ) n / 2, para todo n ∈ R

Bons estudos e espero que tenha ajudado!

CyberKirito

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[tex]\boxed{\begin{array}{l}\tt Demonstre~que\\\rm~1+2+3+...n=\dfrac{n\cdot(n+1)} {2}~\forall n\in\mathbb{N}\end{array}}[/tex]

[tex]\rm seja~p(n)~a~proposic_{\!\!,}\tilde ao~1+2+3+...n=\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}.\\\sf testemos~p(1):\\\sf 1=\dfrac{1\cdot(1+1)}{2}=\dfrac{1\cdot\diagdown\!\!\!2}{\diagdown\!\!\!2}=1\\\sf portanto~p(1)~\acute e~verdadeira\checkmark.\\\sf suponha~que~p(n)~seja~v\acute alida~para~n, isto~\acute e~1+2+3+...n=\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}.\\\sf se~p(n+1)~for~verificada~ent\tilde ao~a~proposic_{\!\!,}\tilde ao~valer\acute a~para~todo~n\in\mathbb{N}.[/tex]

[tex]\sf Devemos~mostrar~que~p(n+1)~\acute e~verdadeira,ou~seja,\\\sf 1+2+3+..n+(n+1)=\dfrac{(n+1)\cdot(n+2)}{2}.\\\sf com~efeito\\\sf 1+2+3+...n+(n+1)=\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}+(n+1)\\\sf1+2+3+...+n+(n+1)= \dfrac{n\cdot(n+1)+2\cdot(n+1)}{2}\\\rm colocando~(n+1)~em~evid\hat encia~temos:\\\sf 1+2+3+...+n+(n+1)=\dfrac{[n+1]\cdot(n+2)}{2}\\\sf portanto~ p(n+1)~\acute e~verdadeira.\\\sf logo~P(n)~\acute e~verdadeira~para~n\in\mathbb{N}~c\cdot q\cdot d[/tex]

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