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Como você viu no problema anterior, determinar a primitiva de uma função é, na verdade, a determinação de um conjunto de funções uma vez que a constante c faz que mais de uma função possa ser diferenciada levando ao mesmo integrando presente na integral. Caso se deseje encontrar uma só função a ser diferenciada, deve-se informpar o ponto da curva no qual se deseja encontrar a primitiva.

Com base nessas informações e em conhecimentos correlatos, determine a única função

Como Você Viu No Problema Anterior Determinar A Primitiva De Uma Função É Na Verdade A Determinação De Um Conjunto De Funções Uma Vez Que A Constante C Faz Que class=

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais e integração.

Seja a equação diferencial:

[tex]\dfrac{dy}{dx}=2x[/tex], em que [tex]y(0)=3[/tex].

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex]

[tex]dy=2x\,dx[/tex]

Integre ambos os lados da equação

[tex]\displaystyle{\int dy=\int2x\,dx}[/tex]

Sabendo que [tex]\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}[/tex], temos:

[tex]\displaystyle{\int y^0\,dy=\int2x\,dx}[/tex]

Lembre-se que a integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}[/tex] e a integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrito como: [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}[/tex].

Aplique a regra da constante e da potência.

[tex]\displaystyle{\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=2\cdot\int x\,dx}\\\\\\ y+C_1=2\cdot\left(\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C_2\right)[/tex]

Some os valores no expoente e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

[tex]y+C_1=2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}+C_2\right)\\\\\\ y+C_1=x^2+2C_2[/tex]

Subtraia [tex]C_1[/tex] em ambos os lados da equação e considere [tex]2C_2-C_1=C[/tex]

[tex]y(x)=x^2+C[/tex]

Então, utilize a condição de contorno dada pelo enunciado:

[tex]y(0)=0^2+C\\\\\\3=0+C\\\\\\ C = 3[/tex]

Dessa forma, a única função que satisfaz esta equação diferencial, dada a condição de contorno é [tex]\bold{y(x)=x^2+3}[/tex].

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