Para ser mais fácil interpretar este exercício, fiz um esquema que deixo em anexo.
Nele poderás ver mais facilmente que o raio da circunferência de centro P, tangente à circunferência dada, é a diferença entre a distância entre os centros das circunferências e o raio da circunferência dada, ou seja, sendo c a circunferência dada, C o seu centro, e p a circunferência de centro P,
[tex]r_p=\overline{CP}-r_c[/tex]
Comecemos por determinar o raio e centro da circunferência c.
As circunferências de centro (a ; b) são, normalmente, descritas por equações do tipo [tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
Tentemos reescrever a equação dada para chegar a este tipo de equação.
[tex]x^2+y^2-4x+6y-23=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-4x)+(y^2+6y)=23\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-2\times2x)+(y^2+2\times3y)=23\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-2\times2x+2^2-2^2)+(y^2+2\times3y+3^2-3^2)=23\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-2\times2x+2^2)+(y^2+2\times3y+3^2)=23+2^2+3^2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-2\times2x+2^2)+(y^2+2\times3y+3^2)=23+4+9\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=36\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=6^2[/tex]
Podemos assim concluir que a circunferência c tem centro (2 ; -3) e raio 6.
Calculemos agora a distância entre os centros das circunferências.
[tex]\overline{CP}=\sqrt{(x_p-x_c)^2+(y_p-y_c)^2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{(4-2)^2+(4-(-3))^2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{(4-2)^2+(4+3)^2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{2^2+7^2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{4+49}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{53}[/tex]
Podemos, agora, calcular o raio da circunferência p usando a equação que deduzimos no princípio.
[tex]r_p=\overline{CP}-r_c\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow r_p=\sqrt{53}-6\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow r_p\approx 1,28[/tex]
Resposta: O raio da circunferência tangente a C cujo centro é P mede [tex]\sqrt{53}-6[/tex] , isto é, cerca de 1,28.
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