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⠀⠀☞ Verificamos que os três pontos em R3 configuram um triângulo obtusângulo em que o maior lado é oposto ao vértice A, o que nos leva à opção f). ✅
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⠀⠀ De forma semelhante à distância entre 2 pontos em duas dimensões, temos que a equação para a distância entre 2 pontos em três dimensões é:
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[tex]\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf d_{ab} = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}}&\\&&\\\end{array}}}}}[/tex]
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⠀⠀Desta forma sabemos que:
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~d_{ab}~$}\begin{cases}\text{$\sf~= \sqrt{(2 - (-8))^2 + (7 - 5)^2 + ((-3) - (-7))^2} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{10^2 + 2^2 + 4^2} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{100 + 4 + 16} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{120} \approx 10,95$}\end{cases}}[/tex]
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~d_{bc}~$}\begin{cases}\text{$\sf~= \sqrt{(-10 - 2)^2 + (6 - 7)^2 + (3 - (-3))^2} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2 + 6^2} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{144 + 1 + 36} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{181} \approx 13,45$}\end{cases}}[/tex]
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~d_{ca}~$}\begin{cases}\text{$\sf~= \sqrt{((-8) - (-10))^2 + (5 - 6)^2 + ((-7) - 3)^2} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-4)^2} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{4 + 1 + 16} $}\\\\ \text{$\sf~= \sqrt{21} \approx 4,58$}\end{cases}}[/tex]
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⠀⠀Conhecendo as distâncias vamos agora verificar se temos um triângulo retângulo pela relação do Teorema de Pitágoras:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf (\sqrt{21})^2 + (\sqrt{120})^2 ~~\red{\overbrace{=}^{\large?}}~~ (\sqrt{181})^2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 141 \neq 181 $}}[/tex]❌
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⠀⠀Sabendo que não temos um triângulo retângulo, vamos agora verificar se temos um triângulo obtusângulo através da relação:
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[tex]\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf c^2 = a^2 + b^2 + 2an}&\\&&\\\end{array}}}}}[/tex]
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[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\orange{$\sf c$}}[/tex] sendo o lado oposto ao ângulo obtuso (maior lado do triângulo);
[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\orange{$\sf a~\&~b$}}[/tex] sendo os dois outros lados do triângulo;
[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\orange{$\sf n$}}[/tex] sendo a projeção de a ou b sobre b ou a (ou seja, n > 0).
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf (\sqrt{181})^2 = (\sqrt{120})^2 + (\sqrt{21})^2 + 2 \cdot \sqrt{120} \cdot \overbrace{\sf n}^{n > 0 ?}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf n = \dfrac{40}{\sqrt{480}}~~\longrightarrow~~n > 0$}}[/tex]⠀✅
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[tex]\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{f)}~\blue{ O~\hat{a}ngulo.. }~~~}}[/tex] ✅
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
⠀⠀☀️ Leia mais sobre distância entre dois pontos:
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✈ https://brainly.com.br/tarefa/37997846
[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}[/tex]✍
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]☁
⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
[tex]\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX[/tex]✍
❄☃ [tex]\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})[/tex] ☘☀
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[tex]\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}[/tex]
