Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos.
Seja um número complexo em sua forma trigonométrica: [tex]z=|z|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))[/tex].
De acordo com a Primeira Fórmula de De Moivre para a potenciação de números complexos: [tex]z^n=|z|^n\cdot(\cos(n\cdot \theta)+i\cdot\sin(n\cdot\theta))[/tex]
Assim, sendo [tex]z=4\cdot(\cos(150^{\circ})+i\cdot\sin(150^{\circ}))[/tex], devemos determinar o valor de [tex]z^4[/tex].
Aplicando a Fórmula de De Moivre, temos:
[tex]z^4=4^4\cdot(\cos(4\cdot150^{\circ})+i\cdot\sin(4\cdot150^{\circ}))[/tex]
Calcule a potência e multiplique os valores
[tex]z^4=256\cdot(\cos(600^{\circ})+i\cdot\sin(600^{\circ}))[/tex]
Podemos encontrar a forma algébrica do número complexo. Calculamos a primeira determinação positiva do arco, subtraindo [tex]360^{\circ}[/tex] no argumento das funções cosseno e seno:
[tex]z^4=256\cdot(\cos(240^{\circ})+i\cdot\sin(240^{\circ}))[/tex]
Sabendo que [tex]\cos(240^{\circ})=-\dfrac{1}{2}[/tex] e [tex]\sin(240^{\circ})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex], temos:
[tex]z^4=256\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)[/tex]
Multiplique os termos
[tex]z^4=256\cdot\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{i\cdot\sqrt{3}}{2}\right)[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e simplifique as frações
[tex]z^4=256\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+256\cdot\left(-\dfrac{i\cdot\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\ z^4=-128-128i\sqrt{3}[/tex]
Este é o resultado que buscávamos.
