Vamos relembrar 2 propriedades dos radicais que serão úteis para resolver nosso exercício:
[tex]i)\, \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \hspace{0.2cm} em\hspace{0.1cm} geral, \, \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}[/tex]
[tex]ii)\, \left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}, \hspace{0.2cm} para \hspace{0.1cm} todo\hspace{0.1cm} a,b \in \mathbb{R}[/tex]
Vamos começar transformando a raiz mais exterior em expoente, assim,
[tex]\sqrt{\sqrt{\sqrt{9}}} = \left(\sqrt{\sqrt{9}}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]
Do mesmo modo, fazemos o mesmo procedimento com a raiz intermediária,
[tex]\left(\sqrt{\sqrt{9}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left((\sqrt{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]
Daqui poderíamos substituir a raiz de 9, já que sabemos o resultado, ou transformamos a raiz em radical, mantendo o 9, mostraremos ambos os caminhos
[tex]\left((\sqrt{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left((3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\left((\sqrt{9})^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]
Usando a segunda propriedade, obtemos que
[tex]\left((3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{4}}[/tex]
[tex]\left(\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}} = 9^\frac{1}{8}[/tex]
Deste modo,
[tex]\sqrt{\sqrt{\sqrt{9}}} = 9^\frac{1}{8} = 3^\frac{1}{4}[/tex]
