Olá, boa tarde.
Devemos calcular a derivada da seguinte função: [tex]g(t)=\sqrt{t}\cdot(a+b\cdot t)[/tex]
Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]t[/tex]:
[tex]\dfrac{d}{dt}(g(t))=\dfrac{d}{dt}(\sqrt{t}\cdot(a+b\cdot t))[/tex]
Para calcular esta derivada, lembre-se que:
- A derivada do produto entre duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: [tex]\dfrac{d}{dt}(f(t)\cdot h(t))=\dfrac{d}{dt}(f(t))\cdot h(t)+f(t)\cdot \dfrac{d}{dt}(h(t))[/tex].
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\dfrac{d}{dt}(t^n)=n\cdot t^{n-1}[/tex].
- A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: [tex]\dfrac{d}{dt}(f(t)\pm h(t))=\dfrac{d}{dt}(f(t))\pm \dfrac{d}{dt}(h(t))[/tex].
- A derivada de uma constante é igual a zero. Isto significa também que [tex]\dfrac{d}{dt}(c\cdot f(t))=c\cdot \dfrac{d}{dt}(f(t))[/tex].
Aplique a regra do produto
[tex]g'(t)=\dfrac{d}{dt}(\sqrt{t})\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot\dfrac{d}{dt}(a+b\cdot t)[/tex]
Aplique a regra da potência, lembrando que [tex]\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}[/tex] e aplique a regra da soma
[tex]g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot t^{\frac{1}{2}-1}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot\left(\dfrac{d}{dt}(a)+\dfrac{d}{dt}(b\cdot t)\right)[/tex]
Some os valores no expoente e aplique as regras da constante e do produto
[tex]g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot t^{-\frac{1}{2}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot\left(0+b\cdot\dfrac{d}{dt}(t)\right)[/tex]
Lembre-se que [tex]t^{-n}=\dfrac{1}{t^n},~t\neq0[/tex] e aplique a regra da potência
[tex]g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot(b\cdot1\cdot t^{1-1})[/tex]
Some os valores no expoente e multiplique os termos
[tex]g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot(b\cdot1\cdot t^{0})\\\\\\ g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot b\cdot1\cdot1\\\\\\ g'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\cdot(a+b\cdot t)+\sqrt{t}\cdot b[/tex]
Reescreva [tex]\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]g'(t)=\dfrac{a+b\cdot t}{2\sqrt{t}}+b\sqrt{t}[/tex]
Some as frações
[tex]g'(t)=\dfrac{a+b\cdot t+2\sqrt{t}\cdot b\sqrt{t}}{2\sqrt{t}}\\\\\\ g'(t)=\dfrac{a+b\cdot t+2b\cdot{t}}{2\sqrt{t}}\\\\\\ g'(t)=\dfrac{a+3bt}{2\sqrt{t}}[/tex]
Esta é a derivada desta função.
