Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre expansão binomial.
Sabendo que [tex]x+\dfrac{1}{x}=3[/tex], devemos determinar o valor da expressão: [tex]x^4+\dfrac{1}{x^4}[/tex].
Eleve ambos os lados da expressão à quarta potência:
[tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4=3^4[/tex]
Lembre-se que: [tex](a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4[/tex]. Assim teremos:
[tex]x^4+4\cdot x^3\cdot\dfrac{1}{x}+6\cdot x^2\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+4\cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(\dfrac{1}{x}\right)^4=81[/tex]
Calcule as potências, lembrando que [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},~b\neq0[/tex].
[tex]x^4+4\cdot x^3\cdot\dfrac{1}{x}+6\cdot x^2\cdot\dfrac{1}{x^2}+4\cdot x\cdot\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}=81[/tex]
Multiplique e simplifique as frações, tal que [tex]x\neq0[/tex]
[tex]x^4+4x^2+6+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}=81[/tex]
Subtraia [tex]6[/tex] em ambos os lados da equação e fatore a expressão
[tex]x^4+4\cdot\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\dfrac{1}{x^4}=75[/tex]
Então, novamente utilizando a expressão inicial, eleve ambos os lados da equação à segunda potência
[tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=3^2[/tex]
Lembre-se que: [tex](a+b)^4=a^2+2ab+b^2[/tex]. Assim teremos:
[tex]x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=9[/tex]
Calcule a potência e multiplique os termos
[tex]x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=9[/tex]
Subtraia [tex]2[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]x^2+\dfrac{1}{x^2}=7[/tex]
Substituindo este resultado onde havíamos parado, temos:
[tex]x^4+4\cdot7+\dfrac{1}{x^4}=75[/tex]
Multiplique os valores
[tex]x^4+28+\dfrac{1}{x^4}=75[/tex]
Subtraia [tex]28[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]x^4+\dfrac{1}{x^4}=47~~\checkmark[/tex]
Este é o valor numérico da expressão que buscávamos.
