Considerando que [tex]7|(2^{3n}-1)[/tex] para algum [tex]n[/tex] natural, deve então existir um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]2^{3n}-1=7k\therefore 2^{3n}=7k+1[/tex]. Tendo isso em mente, vamos provar que [tex]7|[2^{3(n+1)}-1][/tex]. Temos que:
[tex]2^{3(n+1)}-1=2^{3n+3}-1[/tex]
[tex]2^{3(n+1)}-1=2^{3n}\cdot2^3-1[/tex]
[tex]2^{3(n+1)}-1=8\cdot2^{3n}-1[/tex]
Sendo [tex]2^{3n}=7k+1[/tex]:
[tex]2^{3(n+1)}-1=8\cdot(7k+1)-1[/tex]
[tex]2^{3(n+1)}-1=8\cdot7k+8-1[/tex]
[tex]2^{3(n+1)}-1=8\cdot7k+7[/tex]
[tex]2^{3(n+1)}-1=7(8k+1)[/tex]
provando assim que [tex]7|(2^{3n}-1)\Rightarrow 7|[2^{3(n+1)}-1][/tex]. Considerando [tex]n=0[/tex], temos que [tex]2^0-1=0[/tex] é divisível por 7, logo essa relação também é válida para todo [tex]n[/tex] inteiro maior que 0, isto é, para todo número natural.
