Temos a seguinte função:
[tex]f(x) = \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3 x- 4 } \\ [/tex]
Agora vamos calcular o limite dessa função quando "x" tender a 1, então:
[tex]\lim_{x\to - 1} \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3x - 4} \\ [/tex]
A questão quer saber se esse limite existe, ou seja, devemos provar através dos limites laterais:
[tex]\lim_{x\to a {}^{ + } } f(x)= \lim_{x\to a {}^{ - } }f(x) \\ \\ \lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3x - 4 } = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3x - 4 } [/tex]
Fatorando a expressão do numerador e denominador, temos que:
[tex]\lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2.(x + 1)}{(x - 4).(x + 1)} = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2.(x + 1)}{(x - 4).(x + 1)} \\ \\ \lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2}{x - 4} = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2}{x - 4} [/tex]
Substituindo o valor a qual "x" tende:
[tex]\lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2}{ - 1 - 4} = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2}{ - 1 - 4} \\ \\ \boxed{\frac{2}{ - 5} =\frac{2}{ - 5} }[/tex]
O limite de fato existe, pois os limites laterais são iguais.
Espero ter ajudado
