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Sagot :
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⠀⠀☞ O resultado simplificado de cada item é: a) 16.357 / 3.330; b) 18.149 / 49.500; c) 1.447 / 495 ; d) -491 / 330. ✅
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⠀⠀ Para resolver cada uma das somas iremos primeiro reescrever os números da soma com um número de algarismos decimais igual à três vezes o número de algarismos da maior dízima, o que permitirá identificarmos qual será a dízima periódica do resultado. Tendo feito isto, converteremos este resultado para sua fração geratriz através do seguinte algoritmo:
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- ⠀ ⠀ I) Sendo x nosso número devemos multiplicá-lo por uma potência de 10 de forma que a dízima apareça uma única vez à esquerda da vírgula;
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- ⠀ ⠀ II) Subtrair o resultado com x multiplicado por uma potência de 10 de forma que a dízima fique imediatamente à direita da vírgula;
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- ⠀ ⠀ III) Igualar esta soma com x multiplicado pela diferença das duas potências encontradas anteriormente, resolvendo a expressão do lado esquerdo e isolando x do lado direito.
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[tex]\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf x \cdot 10^m - x \cdot 10^n = x \cdot (10^m - 10^n)}&\\&&\\\end{array}}}}}[/tex]
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A) 4,6777...+ 0,234234...
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 4,677777777... + 0,234234234...$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = 4,9\overline{120}$}}[/tex]
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~4,9\overline{120}~$}\begin{cases}\text{$\sf 10.000 \cdot x - 10 \cdot x = (10.000 - 10) \cdot x $}\\\\ \text{$\sf 49.120,\overline{120} - 49,\overline{120} = 9.990x $}\\\\ \text{$\sf 49.071 = 9.990x $}\\\\ \text{$\sf x = \dfrac{49.071}{9.990} $} \end{cases}}[/tex]
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⠀⠀Para encontrarmos a fração irredutível precisamos primeiro encontrar o M.D.C. de 49.071 e 9.990. Como o segundo número é mais fácil de fatorar, vamos fazê-lo e analisar se o 49.071 é divisível por algum dos fatores:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf Fat(9.990) = 111 \cdot 9 \cdot 10$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf Fat(9.990) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 37$}}[/tex]
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⠀⠀Sendo 49.071 divisível somente por 3 então temos que a fração irredutível será:
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[tex]\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ \dfrac{16.357}{3.330} }~~~}}[/tex] ✅
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B) 2,34646...+ 1,32
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 2,3464646... + 1,32$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = 3,666\overline{46}$}}[/tex]
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~3,666\overline{46}~$}\begin{cases}\text{$\sf 100.000 \cdot x - 1.000 \cdot x = (100.000 - 1.000) \cdot x $}\\\\ \text{$\sf 366.646,\overline{46} - 3.666,\overline{46} = 990.000x $}\\\\ \text{$\sf 362.980 = 990.000x $}\\\\ \text{$\sf x = \dfrac{36.298}{99.000} $}\end{cases}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf Fat(99.000) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 11 $}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{36.298 \div 2}{9.990 \div 2} = \dfrac{18.149}{49.500}$}}[/tex]
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[tex]\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ \dfrac{18.149}{49.500} }~~~}}[/tex] ✅
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C) 4,1555... - 1,2323...
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 4,155555... - 1,232323...$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = 2,92\overline{32}$}}[/tex]
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~2,92\overline{32}~$}\begin{cases}\text{$\sf 10.000 \cdot x - 100 \cdot x = (10.000 - 100) \cdot x $}\\\\ \text{$\sf 29.232,\overline{32} - 292,\overline{32} = 9.900x $}\\\\ \text{$\sf 28.940 = 9.900x $}\\\\ \ \text{$\sf x = \dfrac{2.894}{990} $}\end{cases}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf Fat(990) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 $}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{2.894 \div 2}{990 \div 2} = \dfrac{1.447}{495}$}}[/tex]
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[tex]\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{\dfrac{1.447}{495} }~~~}}[/tex] ✅
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D) 3,01212... - 4,5
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 3,0121212... - 4,5$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = -1,48\overline{78}$}}[/tex]
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[tex]\blue{\Large\text{$\sf~-1,48\overline{78}~$}\begin{cases}\text{$\sf 10.000 \cdot x - 100 \cdot x = (10.000 - 100) \cdot x $}\\\\ \text{$\sf -14.878,\overline{78} + 148,\overline{78} = 9.900x $}\\\\ \text{$\sf -14.730 = 9.900x $}\\\\ \text{$\sf x = \dfrac{-1.473}{990} $}\end{cases}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf Fat(990) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 $}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{-2.894 \div 3}{990 \div 3} = \dfrac{-491}{330}$}}[/tex]
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[tex]\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{\dfrac{-491}{330}}~~~}}[/tex] ✅
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
⠀⠀☀️ Leia mais sobre dízimas periódicas e frações:
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
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