Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções inversas.
Seja a função bijetiva [tex]f:\mathbb{R}-\{2\}\rightarrow\mathbb{R}-\{1\}[/tex] definida por: [tex]f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}[/tex]. Devemos determinar a inversa desta função.
Substitua [tex]x[/tex] por [tex]y=f^{-1}(x)[/tex], de modo que:
[tex]x= \dfrac{y+1}{y-2}[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação por [tex]y-2,~y\neq2[/tex]
[tex]x\cdot(y-2)=y+1[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação
[tex]xy-2x=y+1[/tex]
Subtraia [tex]y[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]xy-2x-y=1[/tex]
Fatore a expressão utilizando [tex]y[/tex] como fator comum em evidência.
[tex]y\cdot(x-1)-2x=1[/tex]
Some [tex]2x[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]y\cdot(x-1)=1+2x[/tex]
Divida ambos os lados da equação por [tex]x-1,~x\neq1[/tex]
[tex]y=\dfrac{1+2x}{x-1}[/tex]
Esta é a função inversa de [tex]f(x)[/tex].
