Comecemos por traduzir este problema para linguagem matemática:
[tex]\forall\;x,y\in\mathbb{R}_0^+:x+y=M[/tex] , ou seja, a soma de 2 quaisquer valores não negativos é M.
Podemos então dizer que:
[tex]x+y=M\;\;\;\;\;e\;\;\;\;\;y=M-x[/tex]
Seja P dado por:
[tex]P=xy\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=x(M-x)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=xM-x^2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=-x^2+Mx[/tex]
Calculemos o máximo desta função P, que será o produto máximo entre x e y.
Para isso, lembremo-nos de que a monotonia de uma função está relacionada com o sinal da sua 1ª derivada.
[tex]P'(x)=(-x^2+Mx)'=-2x+M[/tex]
[tex]P'(x)=0\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(0)=0^2+M\times0=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P'(0)=-2\times0+M=M[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2x+M=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2x=-M\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-M}{-2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{M}{2}[/tex]
x | 0 | | [tex]\frac{M}{2}[/tex] | +∞ Por análise desta tabela de sinal,
P'(x) | M | + | 0 | - conclui-se que o máximo de P(x)
P(x) | 0 | [tex]\nearrow[/tex] |Máx| [tex]\searrow[/tex] tem abcissa [tex]x=\frac{M}{2}[/tex].
Vamos usar este valor para descobrir qual o Produto Máximo.
[tex]P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\left(\dfrac{M}{2}\right)^2+M\left(\dfrac{M}{2}\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\dfrac{M^2}{2^2}+\dfrac{M^2}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\dfrac{M^2}{4}+\dfrac{M^2}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=-\dfrac{M^2}{4}+\dfrac{2M^2}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=\dfrac{-M^2+2M^2}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P\left(\dfrac{M}{2}\right)=\dfrac{M^2}{4}[/tex]
Podemos, agora, definir um sistema que nos permita determinar os valores de x e y.
[tex]\begin{cases}x+y=M\\\\x\times y=\dfrac{M^2}{4}\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-x\\\\x\times(M-x)=\dfrac{M^2}{4}\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-x\\\\-x^2+Mx=\dfrac{M^2}{4}\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-x\\\\-x^2+Mx-\dfrac{M^2}{4}=0\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=M-\dfrac{M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{2M}{2}-\dfrac{M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{2M-M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{M}{2}\\\\x=\dfrac{M}{2}\end{cases}[/tex]
Resposta: [tex](x\;;\;y)=\left(\dfrac{M}{2}\;;\;\dfrac{M}{2}\right)[/tex]
Cálculos Auxiliares
[tex]-x^2+Mx-\dfrac{M^2}{4}=0[/tex]
[tex]x=\dfrac{-M\pm\sqrt{M^2-4\times(-1)\times\left(-\dfrac{M^2}{4}\right)}}{2\times(-1)}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm\sqrt{M^2+4\times\left(-\dfrac{M^2}{4}\right)}}{-2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm\sqrt{M^2-M^2}}{-2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm\sqrt{0}}{-2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-M\pm0}{-2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-M}{-2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{M}{2}[/tex]
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