O domínio real de uma função são todos os valores reais de x para que a função exista.
Devemos datar o domínio da função f:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf f(x)=\dfrac{x}{x^2-x-2}\\\\\end{array}[/tex]
Veja que é uma função com fração. No numerador não há nenhuma restrição a fazer, mas no denominador é necessário saber dessa restrição:
[tex]~~[/tex]
Desta forma, no denominador devemos calcular os valores de x que o resultam à zero, para que estes sejam excluídos.
Para isso, podemos dizer que o denominador é diferente de zero:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf x^2-x-2\,\neq\,0\end{array}[/tex]
Por fatoração:
[tex]\begin{array}{l}\sf x^2+x-2x-2\,\neq\,0\\\\\sf x\cdot(x+1)-2\cdot(x+1)\,\neq\,0\\\\\sf(x+1)\cdot(x-2)\,\neq\,0\\\\\begin{cases}\sf x+1\,\neq\,0\\\\\sf x-2\,\neq\,0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x\,\neq-1\\\\\sf x\,\neq\,2\end{cases}\\\\\end{array}[/tex]
Assim, obedecendo à restrição – 1 e 2 estão excluídos.
[tex]~~[/tex]
Resposta: o domínio da função f são os números reais diferentes de – 1 e 2:
[tex]\boxed{\begin{array}{l}\\\sf D(f)=\Big\{\:x\in\mathbb{R}~/~x\,\neq\,\!-1~,~2\:\Big\}\\\\\end{array}}[/tex]
[tex]~~[/tex]
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