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Se o conjunto {(x, y),(a,b)} ⊂ R 2 é linearmente independente, então o conjunto {(0, x, y),(0,a,b)} ⊂ R 3 também é linearmente independente. (a) Falso. (b) Verdadeiro.

Sagot :

Zecol

Resposta:

(b) Verdadeiro.

Explicação passo-a-passo:

Vamos considerar a seguinte equação, onde [tex]m,n[/tex] são escalares:

[tex]m(x,y)+n(a,b)=(0,0)[/tex]

[tex](mx+na,my+nb)=(0,0)[/tex]

Tirando daí o seguinte sistema:

[tex]\left\{\begin{matrix}mx+na=0\\my+nb=0\end{matrix}\right.[/tex]

Sendo [tex]\{(x,y),(a,b)\}[/tex] LI, por definição, a única solução desse sistema é [tex]m=n=0[/tex]. Peguemos agora a seguinte equação:

[tex]m(0,x,y)+n(0,a,b)=(0,0,0)[/tex]

[tex](0,mx+na,my+nb)=(0,0,0)[/tex]

Tirando daí o seguinte sistema:

[tex]\left\{\begin{matrix}0=0\\mx+na=0\\my+nb=0\end{matrix}\right.[/tex]

A 1º equação sempre é verdadeira em qualquer circunstância, então podemos desconsiderá-la, ficando assim com o sistema:

[tex]\left\{\begin{matrix}mx+na=0\\my+nb=0\end{matrix}\right.[/tex]

Como já foi visto, a única solução dele é [tex]m=n=0[/tex], logo a solução de [tex]m(0,x,y)+n(0,a,b)=(0,0,0)[/tex] é também apenas [tex]m=n=0[/tex], concluindo assim que [tex]\{(0,x,y),(0,a,b)\}[/tex] também é LI.

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